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1、12.3角平分线的判定,P到OA的距离,P到OB的距离,角平分线上的点,知识回顾,几何语言：,OC平分AOB，且PDOA，PEOB,PD=PE,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,角平分线的性质：,不必再证全等,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,P,思考,已知：如图,PDOA，PEOB，点D、E为垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上,证明:经过点P作射线OC PDOA，PEOB PDOPEO90在RtPDO和RtPEO中 POPO PD=PE RtPDORtPEO（HL）PODPOE 点P在AOB的平分线上,已知：如图,PDOA，PEOB，点D、E为
2、垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,PDOA，PEOB，PDPEOP平分AOB,用数学语言表示为：,角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）,总结,角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,归纳、比较,练一练,填空：(1)1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE _(_ _),1=2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,如图，要在S区建一
3、个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,思考,D,C,S,解：作夹角的角 平分线OC，,截取OD=2.5cm,D即为所求。,如图，ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线,课堂练习,已知：如图,在ABC中，BDCD,1=2.求证：AD平分BAC,D,课堂练习,已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,课堂练习,已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
4、,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,证明：过点F作FGAE于G，FHAD 于H，FMBC于M，,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC，,FG=FM.,又点F在CBD平分线上，FHAD，FMBC.,FM=FH.,FG=FH，,点F在DAE的平分线上.,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：
5、点F在DAE的平分线上,课堂练习,FG AE,FH AD,小结,在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,1、角平分线的判定：,2、三角形角平分线的交点性质：,三角形的三条角平分线交于一点。,3、角的平分线的辅助线作法：,见角平分线就作两边垂线段。,如图，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分BAC,课堂练习,如图，O是三条角平分线的交点，ODBC于D，OD=3，ABC的周长为15，求SABC,课堂练习,如图，在四边形ABCD中，B=C=90，M是BC的中点，DM平分 ADC。求证：AM平分DAB,课堂练习,如图,D,E,F分别是ABC
6、三边上的点,CE=BF,DCE和DBF的面积相等,DHAB于H,DGAC于G.求证:AD平分BAC.,课堂练习,应用角平分线性质定理的逆定理,问题3如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌P 应建在 何处？,变式1如图，ABC 的一个外角的平分线BM 与BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在ABC另一个外角的平分线上,变式拓展,变式2如图，P 点是ABC 的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在BAC 的平分线上,变式拓展,变式3如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等这个广告牌P 应建在何处？,变式拓展,练习：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,P,
