一元一次方程解决实际问题综合教案.doc

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1、 一元一次方程解决实际问题综合教案（一）教学目标 ：能用一元一次方程解决简单的实际问题，包括列方程、解方程，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理，提高分析问题和解决问题的能力教学重点：用一元一次方程解决简单的实际问题教学过程：复习提问：解一元一次方程的步骤？例1某饮料店的A种果汁比B种果汁贵1元，小明和他的四位朋友共要了2杯A种果汁和3杯B种果汁，一共花了17元，问这两种果汁的单价分别是多少 ？解：设A种果汁单价x元，则B种果汁单价为x1元根据题意，得方程2x3（x1）17解这个方程得 x4答：A种果汁单价4元，B种果汁单价3元。例2 小明在暑假去桂林旅游5天，这5天的日期之和是20，

2、小明是几号出发的？解：设小明x号出发，则其余几天分别是x1号，x2号，x3号，x4号，根据题意，得方程 x（x1）（x2）（x3）（x+4）=20解这个方程得x2答：小明是2号出发的。例3某机关有A、B、C三个部门，公务员依次有84人，56人，60人，如果每个部门按相同比例裁减人员，使这个机关仅留下公务员150人，那么C部门留下多少人？解：设每部门裁员的比例是x，则A部门留下84（1x）人，B部门留下56（1x）人，C部门留下60（1x）人根据题意，得方程 84（1x）56（1x）60（1x）150解这个方程得 x0.25所以 A部门留下63人B部门留下42人C部门留下45人答：C部门留下45

3、人例 4厦门日报1月24日报道了2003年非师范类大中专毕业生和研究生（厦门生源）的就业形势，其中关于研究生学历的工作岗位是供不应求，具体的情况是：实际需要的研究生人数比实际毕业的研究生人数多1124人，它们之间的比是309：28。则实际需要研究生多少人？实际毕业的研究生多少人?解：设实际需要研究生x人，实际毕业研究生x1124人根据题意，得方程解得x=1236所以实际毕业研究生112人答：实际需要研究生1236人，实际毕业研究生112人。练习：P160 1、2、3、4作业：P165 1、2、3、4（二）教学目标知识技能目标：1、进一步学习用方程解决实际问题的基本步骤（设、列、解、答） 2、理

4、解“列表法”在分析较复杂的实际问题的数量关系时的作用和运用“列表法”的意义。3、能综合运用知识，灵活合理地设计表格，正确有效地运用列表法解决问题。 过程性目标：在具体的问题情境解决过程中，让学生感受到列表法对弄清问题中的数量关系所起的作用和意义，并引导学生主动参与、探究，以培养学生用列表法分析问题、解决问题的能力。情感态度目标：在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，训练学生敢于面对挑战的意志。教学重点：列表法在解决实际问题中的应用教学难点：表格的设计及应用学情分析：学生已充分掌握用方程解决问题的四步骤并对一般的实际问题能独立、熟练地用方程解决。在此基础上，学习

5、用列表法分析较复杂的问题中的数量关系并最终解决问题的目标是能实现的。教学过程一、 回顾与思考： 回忆上节课的内容，结合下列问题思考：用方程解决问题的一般步骤是什么？例1 小明在暑假去桂林旅游5天，这5天的日期之和是20。小明是几号出发的？ （此题虽是为复习上节课的内容而设，但涉及了连续几个整数的表示方法，因而可让学生独立思考或小组讨论后进行交流，教师根据学生回答进行板书） 步骤1： 用字母表示 解：设小明是x号出发的，则后四天分 适当的未知数 别为（x+1）、(x+2)、(x+3)、(x+4)号。 步骤2： 根据题中的 根据题意，得：相等关系列出方程 x +(x+1)+(x+2)+(x+3)+

6、(x+4) = 20 步骤3：解方程求出 解这个方程，得 未知数的值 x = 2步骤4：问题的答案 答：小明是 2 号出发的例2 丽在水果店花18元买了苹果和橘子共6 kg，已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元。小丽买了苹果和橘子各多少？1、阅读思考：根据前面归纳的方法步骤，你认为应如何设未知数和分析数量关系？2、议一议：（主要围绕下面两个问题展开）如何设未知数？根据什么等量关系列方程？在讨论第一个问题时，根据学生的思维老师写出相应的板书，其中有的学生可能会设两个未知数，老师在教学中要给以肯定和鼓励；讨论第二个问题时，老师要引导学生分析等量关系式的左、右两边还需要那些代数式，再列出方程。

7、板书如下：解1：设小丽买苹果x kg,则买橘子(6-x) kg. 解2：设小丽买橘子x kg,则买苹果(6-x) kg根据题意，得； 根据题意，得：3.2x + 2.6(6-x) = 18 2.6x + 3.2(6-x) = 18解3：设小丽买苹果x kg,则买橘子y kg. 根据题意得： x+y=6 3.2x+2.6y=18 (第三种解法如果有学生给出，教师要给以积极的鼓励) 本节课以分析问题中的数量关系为主，故求方程的解不作为本节课重点，但为了激励学生多角度思考，可求出解1、解2以验证两种解法的正确性。但要提示学生：设未知数的方法不同，方程的复杂程度也常常不同，因此要有选择。教师小结：今天

8、用方程解决的问题比较复杂，为了更好的理清问题中的数量关系，我们常用列表的方法来帮助我们解决问题。三、活动探索 你能用表格把上述问题中的数量关系表示出来吗？表格又该如何设计呢？ 针对上面的解1、解2可相应列出下列表格：价格质量金额苹果3.2x3.2x橘子2.6(6-x)2.6(6-x)价格质量金额苹果3.2(6-x)3.2(6-x)橘子2.6x2.6x四、试一试 用表格分析下列问题并列出方程问题1：某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，后来由于需要，又从甲组抽调了部分同学去乙组，结果乙组人数是甲组的2倍。问从甲组抽调了多少人去乙组？ 问题2：在一场篮球比赛中，小林一人独得28分

9、（不含罚球得分），已知他投中的2分球比3分球多4个，他一共投中了多少个2分球？多少个3分球？ 分析：问题1学生的难点在表格内容的设计上；问题2虽有两问，但难点是在学生对篮球得分的算法上。要让学生在充分探索的基础上，适当引导以突破难点，对于学生的不同形式的列表，教师要给以积极评价。为了便于解决问题，“等量关系式”、“方程”也可作为表格中的必要选项，以问题2为例可列出如下表格以分析问题中的数量关系：解：设小林投中了x个2分球，则投中了(x-4)个3分球。进球个数得分2分球x2x3分球(x-4)3(x-4)等量关系式2分球得分+3分球得分=28方程2x+3(x-4)=28小结：进一步让学生领会列表法

10、在解决实际问题中的意义。五、巩固与提高1、 某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人，每艘小船可坐3人。每艘船都坐满，问大、小船各租了多少艘？2、 甲、乙两球队开展足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲、乙两队共比赛6场，甲队保持不败，共得14分。甲队胜了几场？ 六、课后作业 教材第165页 习题5.3 第2、3、4题（三）教学目标：1、进一理解解方程的概念，初步感受方程是刻画客观世界的一种有效的数学模型。2、经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系。教学重点和难点：1.分析应用题，找出相等关系2.找出能代表应用题全部含义的相

11、等关系教学过程： 一次方程解决实际问题，几种常见题型、特点（1）比例分配问题：等量关系：全部数量各种成分的数量之和通常把l份设为x1.已知一个三角形的三条边的比为346，且最长边与最短边的和为36cm，则这个三角形的周长为（ ）A. 65cm B. 52cm C. 39cm D. 28cm2.某种三色冰淇淋45g，咖啡色、红色和白色配料比为1：2：6，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少？问题1：题目中已知了哪些条件，要求什么结论？问题2：你能用那几种方法来求解？问题3：如果用算术解法，你能求出结果吗？怎样求？ 问题4：如果用方程求解，那么先应怎么办？本题中的相等关系是什么？如何设

12、立未知数列出方程？说明：冰淇淋配料的比例问题是小学数学中的典型问题，用此题引出用方程解决问题的方法，是一个过渡作用。从而体现用方程解决问题的优越性，凸现方程思想。点拔 引导学生先找出本题中的相等关系，设立未知数，从而根据相等关系，列出方程，解决问题。来源:学科网ZXX说明：本例题设计的目的就在于让学生了解用方程解决问题的简单步骤和方法：理解题意，找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，在写解答的过程中，应先设未知数，再根据相等关系列出方程，解这个方程，并写出答案。 师生小结：(一）列方程解应用题就是用字母代替应用题中的未知数，根据数量间的关系列方程，解方程（二)用一元一次方程解决问题的步骤有

13、哪些？（1）弄清题意，找出未知数，并用字母表示。（2）找出题中数量间的等量关系，列方程。（3）解方程。（4）检验并写出答案。 3.某商店今年共销售21英寸（54cm）、25英寸（64cm）、29英寸（74cm）3种彩电360台，它们的销售数量的比是1:7:4，这三种彩电各销售了多少台？（2） 数字问题 1.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么得到的新数比这个数大594，求这个三位数 2. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，则所得新数比原数大63，求原两位数。 分析：若直接设

14、这两位数很难求解，根据已知条件，可间接设原来两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x。 解：设原来两位数的个位上的数字为x，根据题意得： 解之得： 答：所求两位数为29。 （3）利息问题：等量关系：本金利率期数利息本金利息本息和注意：教育储蓄，国库券不缴利息税，其它储蓄存款征收20的利息税即利息税20利息1. 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税利息20，银行一年定期储蓄的年利率为2.25，今年小王取出一年到期的本金和利息时，交纳了利息税4.5元，则小王一年前存入银行的钱为 _ 元 2.一年定期储蓄的利率为1.98%，所得利息交纳20%的利息税，如果某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税

15、后的利息为450元，问储户存入多少本金？（精确到1元） 设储户存入X元本金 X1.98%（1-20%）=450 X28409 储户存入28409元本金（四）1.学习目标：知识与技能：理解商品销售中的进价、标价、折扣率、利润（率）、售价等概念及其之间的关系.能根据利润=实际售价一进价等数量关系列一元一次方程求解.过程与方法：进一步体会方程模型的作用，总结运用方程解决实际问题的一般方法，提高应用数学的意识.情感、态度与价值观：通过商品销售的学习，使学生认识到数学的应用价值，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.2.重、难点：理清标价、折扣率、利润（率）、售价等数量之间的关系，找

16、准等量关系.教学过程：1.情景创设： 某商场在销售一种皮装时，为了吸引顾客，先按进价的150%标价，再按标价的8折（标价的80%）出售，结果每件皮装仍获利160元，问这种皮装的进价为每件多少元？2.学生活动、意义建构、数学理论：分析：本题含有明显的等量关系是利润=售价进价.学生思考：设这种皮装的进价为每件x元，则标价应是 元，售价为 元，列方程是 . 解：设这种皮装的进价为每件x元，根据题意得x150%80%x=160； 解这个方程得x=800.例：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少？（0.75x25=0.9x20

17、，x=300） 学生独立思考，解决问题. 习题练习：见课本P136练一练1，2. P137 14，P138 15.（4）利润率问题等量关系：商品的利润率售价-进价/进价利润售价进价注意：打折销售，打几折就是按原价的十分之几出售1.某商品原价为a元，提价10后销路不好，只好又降价10，此时售价为b元，则a、b的大小关系为（ ）A. ab B. ab C. ab D.无法确定某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60，另一个亏本20，在这次买卖中，这家 商店（ ）A. 不赔不赚 B.赚了8元 C.赔了8元 D.赚了32元 2.某商品的售价为每件900元，为了加大参与市场竞争力度，商

18、店按售价的9折再让利40元酬宾，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？ 分析：本题属商品利润问题：此类问题的基本量关系有： 商品利润=商品售价商品进价可利用列方程的等量关系是：商品现售价商品进价=商品进价商品的利润率，即（商品原售价90% 40）商品进价=商品进价商品的利润率。 解：设此商品进价为x元，根据题意，得： 解这个方程，得： 经检验，符合题意 答：此商品进价为700元。 说明：商品利润问题，常用于列方程的等量关系是：商品售价商品进价=商品利润 3.某种商品的标价是520元，打8折销售，仍可获得4%的利润，这种商品的进价是多少？ （五） 教学目标：利用一元一次方程解决行程问题 教学

19、重点：根据实际问题合理设出未知数，列出方程 教学难点：找出行程问题中的相等关系 教学过程：（5）行程问题：（包括相遇问题，追及问题）等量关系：路程速度时间时间路程速度速度路程时间相遇问题有：快行距离慢行距离开始距离追及问题有：快行距离慢行距离开始距离 1.运动场跑道周长400米，小红跑步的速度是爷爷的5/3倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5分钟后小红第一次追上了爷爷，你知道他们的跑步速度吗？2.一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟，此时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追

20、上学生队伍？ 分析：这是一个追及问题，由于通讯员从学校出发按原路追学生队伍，所以与学生是同向而行且同地。所以有以下相等关系： 通讯员行进路程=学生行进路程 路线图示如下：设通讯员需x小时追上学生队伍 解：设通讯员需x小时追上学生队伍，根据题意得： 解之得： 经检验，符合题意答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍。3.甲、乙两地相距246千米，客、货两列火车从两地同时出发，相向而行。火车每小时行驶60千米，是客车速度的1.2倍。问：两车开出几小时后还相距26千米？4.甲、乙两人共同步行，同地同方向出发，经过8分钟，甲比乙多行40米；如果两人由同地背向而行，5分钟后相距175米。问：两人每分钟各行多

21、少米？5. 一人驾车以100km每小时的速度从甲城出发去乙城。到达乙城休息了30min，又以80km每小时的速度从乙城返回甲城，共用了5h。求甲乙两城之间的路程。 设甲乙两城之间的路程为x，那么： (x/100)+(1/2)+(x/80)=5 解得：x=200 6.两站相距275千米，慢车以每小时行驶50千米的速度从甲站开往乙站，1小时后，快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？ 7.一架飞机在两个城市之间飞行，无风时飞机每小时飞行552干米，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用去5小时，逆风飞行用了6小时求这次飞行的风速？顺风行驶的路程逆风行驶的路程解：设风速为

22、x千米/小时根据题意得方程5（552x）6（552x） 8.小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车往火车站，去家乡看望爷爷，在行驶到一半路程时，小张向司机询问到达火车站的时间，司机估计继续乘公汽到火车站火车正好开出，于是建议小张和父亲改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶到火车开出前15分钟到达火车站，已知公共汽车的平均速度是30千米/时，问小张家到火车站有多远？解：设小张家到火车站的路程为x千米，根据题意得方程 解得x=30. 答：小张家到火车站有 30千米 作业：P166 7、8、9、10行程中的航行问题：这类问题的基本数量关系是：顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度一只轮船

23、从甲码头到乙码头顺流航行用了3小时，而从乙码头回到甲码头多用了30分钟，此般在静水中的速度是每小时26千米，求水速？行程问题与工程问题有相似之处，行程问题可以看作特殊的工程问题，二者的类似之处如下表： （6）工程问题：工作量工作效率工作时间工作效率工作量工作时间 工作时间工作量工作效率一般情况下将总工作量看作l列方程等量关系通常用：几个分工作量之和总工作量 1.在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 分析：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，那么甲、乙两处的人数可列出下表： 解：设应调往甲处x人，则

24、调往乙处（20-x）人，根据题意得： 解之得： 经检验，符合题意答：应调往甲处17人，乙处3人。2. 为庆祝校运会开幕，初一（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半同学参加制作，每天制作40面，完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人的制作效率相同，问共制作小旗多少面？ （7）等积变形问题 变形前得体积=变形后的体积 1.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留）（六）教学目标：能用一元一次方程解决带百分比的问题教学

25、重点：用一元一次方程解决实际问题教学难点：根据实际问题列出相应的方程教学过程：例1我市某学校计划向西部山区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中，初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，问初中学生和高中学生比原计划多捐了多少册？解：设初中生原计划捐x册，则高中生原计划捐3500x册，根据题意得方程1.2x1.15(3500x)=4125解这个方程得 x2000则初中生多捐了400册高中生多捐了225册答：初中生比原计划多捐了400册高中生比原计划多捐了225册例2小明的爸爸向银行贷了一笔款，商定两年归还，贷款年利率为6%（不计复利），他用这笔款购进一批货

26、物，以高于买入价的37%出售，经过两年的时间售完，用所得收入还清贷款本利，还剩4万元，问两年前小明的爸爸贷款的金额是多少？说明：单利，银行每年按这个利率计算利息，但是只在存款到期时才和本金一并支付给你。比如，现在存1000元的5年期定期存款，利率是2.88 %，5年的利息总和就是10002.88 %5=144，那么5年后你得到的本息总共是1144元。复利,就是说利息在每年的年末就支付给你，而不是存款到期后才一并支付，这样，上一年得到的利息在下一年就成了本金，在以后的每年中都可以得到利息，也就是通常所说的“利滚利”。我们还是用上面例子，按复利的方式算一算。 时间年初本金年利率本年所的利息年末本息

27、和 第一年1000 2.88% 28.8 1028.8 第二年1028.8 2.88% 29.63 1058.43 第三年1058.43 2.88% 30.48 1088.91 第四年1088.91 2.88% 31.36 1120.27 第五年1120.27 2.88% 32.26 1152.53解：设贷款金额为x元，则两年后应还（1+20.06）x元，购入的货物卖出得（10.37）x元根据题意得方程（10.37）x（1+20.06）x40000 解这个方程得 x160000另解：设贷款金额为x元，则两年后应还利息20.06x元，购入的货物卖出获利0.37x元根据题意得方程 0.37x20.

28、06x40000解这个方程得 x160000答：贷款金额为160000元若贷款利息为复利计算，则贷款多少元？解：设贷款金额x元，则两年后应还（1+0.06）x元，购入的货物卖出得（10.37）x元根据题意得方程 （10.37）x（1+0.06）x40000解这个方程得x162337.66另解：设贷款金额为x元，则两年后应还利息1.06xx元，购入的货物卖出获利0.37x元根据题意得方程 0.37x（1.06xx）40000解这个方程得x162337.66练习：1. 某商场售衣服，每件60元，其中一件赚25%，而另一件亏25%，那么这家商店是赚了还是亏了或是不赚不亏呢？作业：P165 5某商店为

29、促销某一品牌的空调机，规定2004年五一节那天购买该机可分两期付款，在购买时先付一笔款，余下的部分及它的利息（年利率5.6%）在2005年五一节付清，该空调机的售价为每台8224元，若每次付款数相同，则每次应付款多少元？一商店将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后在广告中宣传将以八折的优惠价出售，结果每台赚了300元，那么每台彩电的进价是多少元？（8）物资分配：1.一筐梨，分散后小箱装，用去8个箱子，还剩8kg未能装下；用9个箱子，则最后一个箱子还可以装4kg，求这筐梨的质量？2.某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问，春游的总人

30、数是多少？（9）调配问题： 1.一车间与二车间总人数为150人，将一车间的15名工人调动到二车间，两车间人数相等，求二车间人数？ 2.某厂甲车间有工人32人，乙车间有62人，现在从厂外有招聘新工人98名分配到两个车间，问应该如何分配才能使二车间的人数是一车间人数的3倍？（10）总和问题：1.一艘货轮货舱容积是2000立方米，可载重500吨，现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积为7立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，两种货物各装多少吨最合理？2.南庄中学初一级数学竞赛，共有20道题，答对一道题得5分，不答或答错一道不仅不给分，而且还要扣3分，小婷得了76分，请问她答对了多少题？（11）配

31、套问题：1.“广东兴发铝型材集团公司”，是全国著名的专业生产建筑铝型材、工业铝型材的大型企业之一。厂内某个车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铝片120片，或长方形铝片80片，将两张圆形铝片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铝片能合理地将铝片配套？2.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套?（已知一个螺栓配两个螺母）总结：1、列方程解应用题就是用字母代替应用题中的未知数，根据数量间的关系列方程，解方程2、找等量关系的方法（1）根据常用的数量关系找等量关系。（2）

32、根据题中表示数量关系的句子找等量关系。（3）根据公式找等量关系。（4）按事情的发展关系找等量关系。3、列方程的一般步骤（1）弄清题意，找出未知数，并用字母表示。（2）找出题中数量间的等量关系，列方程。（3）解方程。（4）检验并写出答案。4.应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系（1）等积类：变形前的体积（容积）=变形后的体积（容积）；（2）调配类：注意调配前的数量关系，调配后的数量关系；（3）利息类：本息和=本金税后利息，税后利息=本金利率80%；（4）商品销售类：利润率=利润/进价，利润=售价进价；（5）工程类：工作量=工作时间工作效率；（6）行程类：路程=速度时间相遇问题：总路程=甲走的路程乙走的路程；追及问题：追者走的路程=前者走的路程两地间的路程；环形跑道问题：“同时同地同向出发：快的多跑一圈才能追上慢的；同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.”航行问题：顺水速度=静水速度水速；逆水速度=静水速度水速；顺水速度逆水速度=2风速；（7）比例类：若甲、乙的比是3:5，可设甲为3x，乙为5x；（8）数字类：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为：100a10bc.15