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1、3.1.1 平均变化率,世界充满着变化，有些变化几乎不被人们察觉，而有些变化却让人们感叹与惊讶!,美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。,阅读材料,1、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，你能说甲的经营成果一定比乙好吗？,变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月
2、时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？,注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量相对于另一个量改变了多少,情境2 某市 3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.,问题1：“气温陡增”是一句生活用语，气温差不能反映气温变化的快慢程度,华罗庚,数缺形少直观,形缺数难入微,苏教版选修1-1平均变化率,情境2 某市 3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.,化 曲 为 直,它的数学意义是什么？（形与数两方面）,如何从数学角度刻画房价“暴涨”？,问题1,1999 2009 2010 2011,2200）,2200,暴涨,生活中处处蕴含着数学化的知识，,房价“暴涨”,气温“陡升”
3、,股指“跳水”、,GDP“猛增”,如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？,例：剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山问题,x,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？,某旅游者从A点爬到B点，假设这段山路是平直的。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)，,自变量x的改变量为x1x0，记作x，,函数值的改变量为y1y0，记作y，,即x=x1x0，y=y1y0，,竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小
4、段的山坡可视为平直的。再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？,D1,X3,B(x1,y1),O,y,x,x2,x3,y2,y3,C(x2,y2),D1(x3,y3),直线AB的斜率:,直线CD1的斜率:,注意各小段的 是不尽相同的。,注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。,平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1
5、x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时，商称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x的平均变化率。,思考:函数平均变化率的几何意义？,直线AB的斜率,函数平均变化率:,函数值的改变量与自变量的改变量之比,观察函数f(x)的图象倾斜角为，直线AB的斜率为k，,过曲线 上的点 割线的斜率。,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”,(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，,(2)用平均变化率“量化”一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x很小时，这种“量化”便由“粗糙”逼近“精确”。,说明：,例1求函数y=x2在区间x0，x0+x(或x0+x，x0
6、)的平均变化率。,解：函数y=x2在区间x0，x0+x 的平均变化率为,例2求函数 在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率(x00，且x0+x0).,解：函数 的平均变化率为,例3已知函数f(x)=x2+x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1+x,2+y),则,3x,练习题,1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的改变量为（）Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0)x Df(x0+x)f(x0),D,2.一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间1，2内的平均速度为（）A4 B8 C 6 D6,C,4.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+x,2+y)，则 为（）A B C D,C,变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系 如下图所示，试问：（1）图1中甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）图2 中快到终点时，谁跑的较快？,图1,图2,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,
