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1、第四节 函数的幂级数展开式,问题：一、为何将函数展开成幂级数？二、将函数展开成幂级数需要何条件？三、如何将函数展开成幂级数？,一、为何将函数展开成幂级数？,数学思想：将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。,复杂的函数,简单的函数,数学的方法,在实际问题中，我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。,问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？,二、将函数展开成幂级数需要何种条件？,该问题转化为：对任意给定的函数 f(x),(2)如果能展开,是什么?,(3)展开式是否唯一?,(1)在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,（定理1回答了问题二）,将函数展开成幂级数需要何种条件？,泰勒系数
2、是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,定义,只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x)在该点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?,不一定.,即,问题：,可见,在x=0点任意可导,比如,洛必达法则,证明,必要性,充分性,三、如何将函数展开成幂级数？,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,如条件满足，,(2)判定 是否成立？,例1,解,例2,解,例3,解:,注意:,有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）,双阶乘,2.间接法,此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开成幂级数的主要方法，应重点掌握。,例如,例：将y=xarctanx展成x的幂级数。若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。,若用间接方法，就很简便。,例4,解,Ex,将函数,在,和,间接展开为泰勒级数。,Ex,将函数,展开成,的幂级数。,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当 m=1 时,
