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1、第7章 平面图形的几何性质,概 述,构件的横截面积都是具有一定几何形状的平面图形,构件的承载能力(强度,刚度,稳定性等)都与平面图形的一些几何性质(横截面积,极惯性矩等)有关。因此需要,第7章 平面图形的几何性质,7.1 静矩和形心 1 静矩,同一图形:坐标轴不同-静矩不同,数值可正,可负,可为零!量纲:,2.形心,3 组合图形的静矩和形心,组合图形,注:1 静矩有符号.2当Sz=0yc=0,即平面图形对某一轴的静矩为零,则该轴必然过形心 3当yc=0Sz=0,即若某一轴通过形心,则图形对该轴的静矩为零。4由平面图形的形心必在对称轴上,故平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。5 静矩是截面对于一
2、定的坐标轴而言的,同一截面对于不同的坐标轴,其静矩 不同。,解:,已知:矩形截面bh 求:sz和 sy,已知:图示图形求:zc和yc,解:,4.2 惯性矩和惯性半径,1 惯性矩,2 惯性半径,3 极惯性矩,2 空心圆,1圆,5 组合图形的惯性矩,4 惯性矩与极惯性积的关系,已知:矩形求:Iy和Iz解:,已知:实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.求:Iy和Iz。,解:,1 实心圆,2 空心圆,4.3 惯性积,1 y、z之一为图形对称轴则Iyz=0;,2 惯性积为零的一对座标轴称为 惯性主轴;,3 通过形心的主轴称为形心主轴 或形心惯性主轴;,4.4 平行移轴公式,图形对平行于形心轴y、z轴的
3、惯性矩和惯性积为:,图形对形心轴的惯性矩和惯性积为:,已知:T形截面。求:Izc,解:形心 c(0 yc),100,20,140,20,c,c1,c2,yc1,yc,z,y,zc,作业4.24.74.9,第三章 扭 转,31 扭转的概念,外力特点:在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。,轴:以扭转变形为主的杆件。,变形的特点:当杆件发生扭转变形时,任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为扭转角,用表示。,32 外力偶矩的计算,扭矩和扭转图,一、外力偶矩的计算,已知轴所传递的功率和轴的转速,则外力偶矩(Nm),N功率,单位为千瓦(
4、KW)n转速,单位为rod/min,N功率,单位为马力n转速,单位为rod/min,二、扭转时的内力扭矩,右:Mx=0,Me Mx=0 Mx=Me Mx、Mx 为扭矩,扭矩的符号规定:按右手螺旋法则,扭矩矢量方向与截面外法线相同为正,反之为负。,扭矩左:Mx=0,Mx Me=0 Mx=Me,三、扭矩图,例题:1、一传动轴作200rmin的匀速转动,轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。,一 薄壁圆筒扭转时的应力 r t 为薄壁圆筒,3.3 纯剪切,现象:1 圆周线的形状大小不变相邻两周线之间
5、距离不变,但发生了相对转动。2 各纵向线仍然平行,但倾斜了相同的角度(剪应变),矩形歪斜成平行四边形,由平衡条件,试中:r为圆筒的平均半径。,二、剪应力互等定理,由平衡方程,结论:在互相垂直的两个平面上,剪应力必然成对存在,且数值相等;二者都垂直于两平面的交线,其方向则共同指向或共同背离两平面的交线,这种关系称剪应力互等定理。,纯剪切应力状态:单元体上只有剪应力而无正应力的情况。,=,dytdx,=dxtdy,G,四 E、G 和之间的关系,三 剪应变、剪切胡克定律,剪应变,在弹性范围内,剪切胡克定律,G-剪切弹性模量,34圆轴扭转时的应力及强度计算一、横截面上的应力,1、变形几何关系,平面假设
6、:,圆轴的各个横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,并且相邻两截面间的距离不变.,表面剪应变,2、物理关系,内部剪应变,3、静力关系,截面对形心的极惯性矩(与截面形状、大小有关的几何量),抗扭截面模量(系数),当=R 时,极惯性矩和抗扭截面模量(1)圆,(2)空心圆,二、强度计算,抗扭截面模量(系数),解决三类强度问题:,35 圆轴扭转时的变形和刚度计算,扭转角:任意两横截面相对转过的角度,1 扭转角,(1)等直圆轴,(2)阶梯轴,(3)变截面轴,2 单位长度扭转角,3 扭转刚度条件,许用单位长度扭转角,rad/m,0/m,例题:1、有一阶梯形圆轴,轴上装有三个皮带轮。
7、轴的直径分别为d1=40rmn,d2=70mm,已知轮3输入的功率为N3=30kW,轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动,转速n=200rmin。若材料的容许剪应力=60MPa,G=8104MPa,轴的容许单位长度扭转角为=2m,试校核该轴的强度和刚度。,2、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知m1,m2=3kN.m,m3=9kN.m,m4;各轮的间距为l1=0.8m,l2=1.0m,l3=1.2m;材料的=80GPa,=0.3/m,G=80GPa.(1)设计轴的直径D;(2)若轴的直径D0=105mm,试计算全轴的相对扭转角D-A,3、有一外径为100mm、内径为80m
8、m的空心圆轴,与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动,输入功率N1=150kW;在B、C轮处分别负载N2=75kW,N3=75kW。若已知轴的转速为n=300rmin,容许剪应力=45MPa;键的尺寸为10mml0mm30mm,其容许应力为=100MPa和c=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度(不考虑键槽的影响);(2)求所需键数n。,P,36 扭转静不定问题,已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.,解:1 静力学关系,2 变形几何关系,m,扭转静不定问题,3 物理关系,解出:,37 非圆轴截面杆扭转的概念,矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束,翘曲程度不受任何限制的情况,属于自由扭转。此时,杆各横截面的翘曲程度相同,纵向纤维长度无变化,横截面上只有剪应力,没有正应力。杆一端被约束,杆各横截面的翘曲程度不同,横截面上不但有剪应力,还有正应力,这属于约束扭转。,式中 h 矩形截面长边的长度;t 矩形截面短边的长度;a 与截面尺寸的比值h/l有关的系数。,矩形截面杆自由扭转时,其横截面上的剪应力计算有以下特点:(a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切);(b)截面角点处的剪应力等于零;(c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处,其计算式为,