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1、多维随机变量函数的分布,例题1,求：z=xy的分布列,Z的取值,-1 0 1-2 0 2,于是，我们可以得到Z的分布律,例题3 在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为?,解:用x和y分别表示随机抽取的两个数，则x和y 均服从(0,1)上的均匀分布 且相互独立,（X，Y）的联合密度函数为,x,y,续问：对于任意的z，求:,解：,（上例续）,求：Z=X+Y的密度函数,例题4,求z 的概率密度。,的分布函数为：,解：,当Z0时，,设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:,求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和概率密度.,解 FZ(z)=PZz=PX+2Yz,例6,x
2、,y,x+2y=z,f(x,y)的非0区域,例题5,设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为,求随机变量Z概率密度函数，,基本步骤：,第二步 求z的分布函数,第三步 求密度函数,第一步 求联合密度,由于X，Y相互独立，因此Z的概率密度为：,因此，Z=2X+Y 分布函数为:,所以，Z的概率密度函数为,其中区域，则 的概率密度,1）的分布,设 的概率密度为,，则,的分布函数,二维随机变量函数的分布（公式法）,如果将上面的累次积分交换顺序，又可得,已知二维随机变量（X,Y）的联合,求 Z=X+Y 的概率密度.,解 在 XOZ 平面上作出区域,例9,概率密度为,x,z,z=2x,z=1+x,O,
3、当z 0 或 z 2 时 fZ(z)0,当0z 1时,当1z 2时,特别，当 与 相互独立时，有,设随机变量X,Y 相互独立,均服从区间(0，1)上的均匀分布,求:Z=X+Y 的,解,在XOZ平面上作出区域G,例8,概率密度 fZ(z).,x,z,1,1,z=x,z=1+x,（1,2）,（1,1）,当0z 1时,当z 0 或 z 2 时 fZ(z)0,当1z 2时,概率密度曲线为,z,fz(z),1,1,2,称为辛普生分布,o,解由题意知 与 的概率密度为,因此 的概率密度,的概率密度,设 和 相互独立，,且都服从正态分布,，求,例7,也服从正态分布，其均值和方差都是原来的二倍。,故,即,则,
4、其中 为常数。,以上结果可推广到一般情况：若,相互独立，且,例题10,求 M=Max(X,Y),N=Min(X,Y)的分布律,P(M=1)=1/20+2/20+3/20=6/20,M,p,0 1 2,N,p,0 1,例题11 M=Max(X,Y)X,Y 相互独立 求F M(z),解:,例题12 N=Min(X,Y)X,Y 相互独立 求F N(z),解:,例题分析13,设X,Y 服从区域,的均匀分布,Z=Max(X,Y)求 P(Z1/2)=?,例题15,设x1,X2,X3Xn 独立同分布,求Y=Min(X1,.Xn)n 的分布函数,的泊松分布。,证由题意知,例10,设随机变量 与 相互独立，,证明随机变量,服从参数为,它们分别,的所有可能取值为，而,故,作业,P106 16,17 18,20,21,
