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1、4.2 向量组的线性相关性,一、向量组的线性组合,二、向量组的线性相关性,返回,向量组：同维数的向量所组成的集合.,向量组与矩阵：,例如,向量组,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,一、向量组的线性组合,L(1,2,m):1,2,m 线性组合的全体.,例1 零向量是任一向量组的线性组合.,例2 向量组1,2,m中任一向量都可由这个向量组线性表出.,例3,设1,2,m Rn,则L(1,2,m)为Rn的一个子空间由1,2,m 生成的子空间.,定理1 设 A=(1,2,n),则下列命题等价：,1o bL(1,2,n);,2o AX=b有解;,证,有数 x1,x
2、2,xn 使得,bL(1,2,n),1o 2o：,3o,设 R(A)=r,2o 3o：,AX=b与BX=d 同解.所以,AX=b有解,dr+1=0,R(B,d)=R(B)=r,例1 将=(1,0,-4)T 用1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T 线性表出.,解,定义2():1,2,r,():1,2,s,若组()中每一个向量都可由()中的向量线性表出，则称组()可由()线性表出.若组()与组()可以互相线性表出，则称组()与组()等价.,等价关系有性质：,(1)反身性：每一向量组都与自身等价；(2)对称性：()与()等价，则()与()等价；(3)传递性：()与()等价
3、，()与()等价,则()与()等价.,二、向量组的线性相关性,定义 若存在不全为零的数x1,x2,xm使得 x11+x22+xmm=0(*)则称1,2,m 线性相关；否则，称1,2,m线性无关.,特殊情形：(1)一个向量：线性相关=0(线性无关 0)；,(2)两个向量1,2：1,2线性相关(无关)它们的对应分量(不)成比例.,证,例2 含有零向量的向量组线性相关.,证,1 0+01+0m=0,定理2 设有m维向量组1,2,n,A=(1,2,n),则下列命题等价：,1o 1,2,n线性相关;,2o AX=0有非零解;,有不全为零的数 x1,x2,xn使,1o 2o：,1,2,n线性相关,证,3o
4、,设 R(A)=r,2o 3o：,AX=0与BX=0 同解.,故，AX=0有非零解 r n.,BX=0有非零解 r n,推论1 设有n维向量组1,2,n,A=(1,2,n),则下列命题等价：,1o 1,2,n 线性相关;,2o AX=0有非零解;,3o det A=0.,向量个数=向量维数：,几何意义:,在R2,R3中，1,2线性相关 1/2(或共线).,在 R3中，1,2，3线性相关 1,2，3 共面.,推论2 向量个数 向量维数 的向量组必线性相关.,证 设 A=(1,2,n)mn,n m,则,R(A)m n,所以 1,2,n 线性相关.,在Rn中，任 n+1个向量必线性相关.,例3 判断
5、向量组1=(0,1,1),2=(1,0,1),3=(1,1,0)的线性相关性：,解1,所以,1,2，3线性无关.,解2,R(A)=3,所以，1,2，3线性无关.,例4 设1,2，3 线性无关，证 1=1+2，2=2+3,3=3+1线性无关.,证 设 x1 1+x22+x33=0,即 x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0.,即(x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0.,因为1,2，3 线性无关，所以只有,所以(*)只有零解.故 1,2,3 线性无关.,线性相关性的基本定理,定理3 若1,2,m线性相关，则1,2,m,m+1,n 线性相关.,证 由1,2,m线性相关，
6、知有不全为零的数 x1,x2,xn 使 x11+x22+xmm=0.,x11+x22+xmm+0m+1+0n=0.,x1,x2,xm,0,0 不全为零，故1,2,n 线性相关.,“部分相关，则整体相关.”,“整体无关，则部分无关.”,定理4 1,2,m(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表出.,证 充分性 不妨设1可由 2,m线性表出，,即有数 x2,xm 使得,因-1,x2,xm 不全为零，故1,2,m 线性相关.,必要性 有不全为零的数 k1,k2,km 使 k11+k22+kmm=0.,1可由 2,m线性表出.,因 k1,k2,km不全为零，不妨设 k10，则,即“1,2,m 线性无关 其中任一向量都不能由其余向量线性表出.”,定理5 若1,2,m 线性无关，1,2,m，线性相关，则 可由1,2,m 线性表出，且表式惟一.,有不全为零的数 k1,k2,km,k 使 k11+k22+kmm+k=0.,若k=0，则 k11+k22+kmm=0.,而 k1,k2,km 不全为零,与1,2,m 线性无关矛盾.,所以k 0，,证,下证 由1,2,m 线性表出的表式惟一：,设,所以,因 1,2,m 线性无关，所以,故表式惟一.,
