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1、3.2 复数代数形式的四则运算,3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义,我们引入这样一个数i，把i 叫做虚数单位，并且规定：i21；,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.,一、知识回顾,1.复数的代数形式：,z=a+bi(a,bR),3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,注：,2)一般来说，若两个复数不全为实数，只能说相等或不相等，而不能比较大小了.,三这者只是一一对应，不是相等。且这种关系的应用出题较多。,对虚数单位i 的规定,练习.根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化 为 a+bi（a
2、、bR）的形式.3(2+i)=；(3-i)i=；i=；-5=；0=；2-i=.,6+3i,1+3i,0+i,-5+0i,0+0i,2+(-1)i,（1）i21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,知识引入,1.复数加、减法的运算法则：,已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）,即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).,(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;,(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,(a+bi)(c+di)=(ac)
3、+(bd)i,例1.计算,解:,练习、计算(1)(1+3i)+(-4+2i)(2)(13i)+(2+5i)+(-4+9i)(3)已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。,我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),Z(a+c,b+d),符合向量加法的平行四边形法则.,2.复数加法运算的几何意义?,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),符合向量减法的三角形法则.,3.复数减法运算的几何意义?,|z1-z2|表示什么?,表示复平面上两点Z1,Z2的距离,(1
4、)|z(1+2i)|,(2)|z+(1+2i)|,*已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义*.,点A到点(1,2)的距离,点A到点(1,2)的距离,(3)|z1|,(4)|z+2i|,点A到点(1,0)的距离,点A到点(0,2)的距离,练习:已知复数m=23i,若复数z满足不等式|zm|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?,以点(2,3)为圆心,1为半径的圆上,1、|z1|=|z2|平行四边形OABC是,2、|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是,3、|z1|=|z2|，|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是,o,z2-z1,A,B,C,菱形,矩形,正方形,
5、4.复数加减法的几何意义,复数与点的对应关系如图,练习:,设z1,z2C,|z1|=|z2|=1|z2+z1|=求|z2-z1|,3.2 复数代数形式的四则运算,3.2.2 复数代数形式的乘除运算,知识回顾,已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）,即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).,(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;,(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i,1.复数的乘法法则：,说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；,(2)复数的乘法与多项式的乘法是类
6、似的，只是在运算过程中把 换成1，然后实、虚部分别合并.,(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律,即对于任何z1,z2,z3 C,有,例1.计算(2i)(32i)(1+3i),复数的乘法与多项式的乘法是类似的.,我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.,例2：计算,思考：在复数集C内，你能将 分解因式吗？,2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.,复数z=a+bi的共轭复数记作,思考：设z=a+bi(a,bR),那么,另外不难证明:,3.复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的
7、共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即,分母实数化,例4.计算,解:,先写成分式形式,化简成代数形式就得结果.,然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数),(2),1、,D,2、,（1）已知求,练 习,（2）已知 求,（3）,如果nN*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到nZ.）,设,则有:,事实上,与 统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.,4.一些常用的计算结果,拓 展,求满足下列条件的复数z:(1)z+(34i)=1;(2)(3+i)z=4+2i,实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3C及m,nN*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.,另外,本题还可用几何知识来分析.,
