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1、第七节 方向导数与梯度,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,一、方向导数,定义,设函数,在点,的某邻域,内,有定义,为从,引出的有向线段,为,上任一点,表示P与 两点,间的距离,若极限,存在,则称此极限为,在点 沿 的方向的方向,导数.记作,即,若,的方向与x轴正向的夹角为,则,若函数 在 处的偏导数存在,的方向与,X轴正向一致,即取,函数在 处沿 方向的,方向导数为,同理,沿x轴负向的方向导数为,类似可得沿y轴正,负方向的方向导数.,例1,在 处沿任意方向的方向,导数存,但偏导数不存在.,证:,证明,设方向,但,不存在.,同理,不存在.,说明函数在某点沿任意方向的方向导数存在不能保证偏
2、导数也存在.,证明,由于函数可微，则函数全增量可表示为,两边同除以,得到,其中 为方向 与x轴正向夹角,方向导数与偏导数之间有下面结论:,由于,有,推广到三元函数,若,在,处可微,则,其中,注意:,可微是方向导数存在的充分条件,而非必要条件.,例如,在 处沿任意方向的方向,导数存,但偏导数不存在,故不可微.,解,解,由方向导数的计算公式知,故,二、梯度,定义,设,在(x,y)处沿任意方向的方向导数存在,则函数f(x,y)在(x,y)处的梯度是一个向量,记为,它的方向与函数在(x,y)处取得最大方向导数的,方向一致,它的模为函数在该点的最大方向导数.,若函数f(x,y)在(x,y)处可微,则f(
3、x,y)在(x,y)处梯度为,事实上,若函数f(x,y)在(x,y)处可微,则在(x,y)处引任一,方向,设,则,记,则有,当,方向与,的方向一致时,方向导数取最大值,且最大值为,由梯度的定义,是f(x,y)在(x,y)处,的梯度,即,类似,若f(x,y,z)在(x,y,z)处可微,则在(x,y,z)处梯度为,例3,求,在,处的梯度及该方向的方向导数.,解,例4,求,在,处沿,在P点处的外法线方向的方向导数。,解1,先求,在,处切线斜率k,在P点处的外法线方向的斜率,取外法线向量为,则,又,在几何上 表示一个曲面,截得的曲线L的方程为,L在xoy面上投影为,梯度方向,此曲面被平面,的方向与过点,P的等高线,在,P点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.,称为f 的等高线,方程为,梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.,梯度与等高线的关系：,例4,求,在,处沿,在P点处的外法线方向的方向导数。,解2,是函数,的一条等高线,在P点处的外法线方向就是函数的梯度方向,而,该方向的方向导数即梯度的模.,又,外法线,
