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1、二 数列的前n项和的求法与应用举例,*,1 数列的前n项和的求法(一),公式法：即直接利用等差数列与等比数列的前n项和公式进行求和。注意：(加法结合律)例1(1)求和：(2)求和：,(1)求和：分析：(1)中每一项是两项的差，被减数依次构成等差数列，减数依次构成等比数列解：(1)原式,(2)求和：分析：(2)中每一项不是两项和(或差)的形式，这怎么求和呢?能不能把每一项(即通项)变换形式，“拆一下”呢?解：,通项,原式,2 数列前n项和的求法(二),倒序相加法：先求等差数列的前n项和公式 利用了倒序相加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重要性质，即,例2 求分母为3，包含在正整数2 0
2、04与2 008之间的所有不可约分数的和解：满足题意的数构成以下数列：共8项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距离的项的和都是(2 004+2 008)，所以可以用等差数列的求和方法倒序相加法设和为S，则,3 数列前n项和的求法(三),裂项相消法 在求非等差、非等比数列的前n项和时，将每一项(即通项)拆成若干项，在做加法时，中间的项“全部抵消”，只剩下首、末的有限项，从而得到和(此法叫做裂项相消法)例3 求和：分析：利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消,解：(1)原式,解：原式,例4 已知各项不为零的等差数列an，求证：证明：,左边,得证,4 数列前n项的求法(四),错位相减法错位相减
3、法适用于求数列anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列例5 求和解：当a=1时，,当a1时，在上式两边同乘以 得 与 两式相减，,得,即,综上得,应 用 举 例,例6 由甲地发往乙地的一列火车，沿途停靠n个站(包括起点站和终点站)，车上有一节邮政车厢，每停靠一站要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时再装上该站发往后面各站的邮袋一个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个(k=1，2，n)试求：(1)数列ak的通项公式；(2)k为何值时，ak最大?求出ak的最大值,解：(1)由题意第l站应装上邮袋(n-l)个，卸下邮袋0个；第2站应装上邮袋(n-2)个，卸下邮袋l个第k站应装
4、上邮袋(n-k)个，卸下邮袋(k-1)个因此从第l站到第k站，装上的邮袋总数为 而卸下的邮袋总数为,若n为偶数；当 时，ak的最大值为 若n为奇数,当 或 时,ak的最大值为,评析：建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比模型，还是递推数列模型?是求an还是求Sn，n是多少?,小 结,非等差(比)的特殊数列求和，其规律性很强:(1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法或错位相减法来完成；(2)不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法求和；(3)错位相减法和倒序相加法是课本中推导等比(差)数列前n项和用到的方法，学习时应予以重视.我们采取什么方法求和，关键是观察通项公式的特征，根据通项公式的形式决定求和方法,
