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1、第三章,中值定理与导数的应用,(习题课),题组一：中值定理,1.考察函数,在 0,2 上,关于拉格朗日定理的正确性.,解:,(1)验证 f(x)在 x=1处的连续性。,(2)验证 f(x)在 x=0处右连续;x=2处左连续。,(3)验证 f(x)在 x=1处的可导性。,2.求下列极限,解:,（2）,解:,（3）,解:,（4）,解:,因为,所以,原式=,3.设 f(x)在,证明:当,是同阶无穷小.,证明:,x0的某一邻域内具有二阶导数,且,接3.,且,(非零常数),故当,是同阶无穷小.,4.证明:当 x 1时,证明:,接4.,取 x=1 得,5.证明函数,的导,数在(a,b)内必有零点.,证明:
2、,Rolle定理,6.设 f(x)可导,的零点.,证明:,显然 F(x)在 x1,x2 上满足Rolle定理,试证在 f(x)的两个零点之间必有,7.设 f(x)在,试证方程,在,内有唯一实数根.,证明:,先证根的存在性.,a,+)上连续,在(a,+)内可导且,接7.,由零点定理知,在,内有实数根.,再证根的唯一性,故,在,内有唯一实根.,综合以上两部分可知结论成立.,8.设 f(x)在,试证:在(0,1)内至少,有一点,使,证明:,由零点定理得:,在0,上应用Rolle定理得:,0,1 上连续,在(0,1)内可导且,9.设 f(x)和g(x),且对一切 x(a,b)有,则必存在,使,证明:,
3、将结果变形为:,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,接9.,于是有,10.设 f(x)在 0,1,试证:在(0,1)内至少,有一点,使,证明:,显然 F(x)在0,1上满足Rolle中值定理.,上连续,在(0,1)内可导且,1.讨论方程,并求出它们,所在的区间.,解:,题组二：导数的应用,的实数根的个数,接1.,因此方程有唯一实数根,介于,2.设 f(x)连续,则在 x=0 处 f(x)为_.,A.不可导,B.可导且,C.取极大值,D.取极小值,解:,且 f(0)=0,接2.,极限的局部保号性,x=0为函数极小值点.,3.设 f(x)在 x=x0的,如果,而,讨论 x=x0为极值点还是(x
4、0,f(x0)为拐点.,解:,(x0,f(x0)为拐点.,某一邻域内具有三阶连续导数,接3.,由泰勒公式得,(x0,f(x0)不是极值点.,4.试确定常数,与曲线,在 x=0 处有相同的切线和曲率.,解:,a,b,c 使抛物线,记,因两曲线同过,所以有,因两曲线在,有相同的斜率，,所以有,接4.,因两曲线在,有相同的曲率，,所以有,又因为,所以,5.设f(x)在,在 x=a(a 0)有极值,试证:曲线f(x)在(a,f(a)处,的切线过原点.,证明:,(-,+)上可微,函数,曲线,在,处的切线为,因为,在,取得极值，,所以,而,接5.,所以,将其代入切线方程得,于是切线过原点。,6.求数列,解
5、:,的最大值.,7.过曲线,上的点 P 作 L 的,切线,此切线与坐标轴相交于点M,N,试求点 P 的,坐标,使 O M N 的面积最小.,解:,设 P点坐标为(x,y)，,则切线方程为,得M，N点的坐标分别为,又知,分别令,接7.,-1,这时,令,得,而,为符合定义的唯一驻点，,由题意知面积最小值一定存在，,故,就是最小值点，,因此,8.证明不等式,证明:,设,则,因此该函数在,单调减、,无驻点、,无不可导点，,于是在端点,处，,函数取得最小值，,所以,即不等式成立。,(2),证明:,设,则,令,得,为唯一驻点。,又知,所以,于是,为,的最小值，,所以,故,(3)设 x(0,1),证明:,设,接(3),单调减,单调减,单调减,9.求使不等式,成立的最小正数 a.,解:,问题转化为求,的最大值.,而,令,所以,接9.,因此,为函数,的唯一极大值点，,当然为最大值点，,于是,的最大值为,故,
