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1、罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,第三章 中值定理及导数的应用,(1)罗尔中值定理,1.中值定理,(2)拉格朗日中值定理,推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零，则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.,推论2 如果在区间(a,b)内,则 f(x)=g(x)+C（C为常数）.,2、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,注意：,1.洛必达法则是求极限的一种有效方法
2、，但并不是万能的,2.洛必达法则的条件是充分非必要的，要注意使用的 条件,3.用洛必达法则可连续用，但要步步检查，步步整理（如约去公因子，提出有确定极限的因子）,例1 求,解,例2 求,解：,例3,解,例 4 计算,解 因为,不满足洛必达法则的条件，所以不能应用洛必达法则.,不存在，,注意：洛必达法则的使用条件,解：,例6.求,例5,解,3、函数的单调性与极值,定理,(1)函数单调性的判定法,定义,(2)函数的极值及其求法,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理(必要条件),定义,可能极值点：驻点和不可导点.（单调区间的分界点）,注意：,极值点可以是不可导点。,极
3、值的第一判别法,极值的第二判别法,求极值的4个步骤：,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定 在每个区间的符号,（4）判断（2）中的点是否是极值点，是极大值还是极小值,例,解,列表讨论,极大值,极小值,例,解 定义域为(-,+)，,极大值,极小值,单调区间为,(1)求函数f(x)在(a,b）内的所有驻点和导数不存在的点；(2)计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值,（1）闭区间a,b 上的连续函数：,在 a,b 上连续的函数 f(x)，一定存在最大值和最小
4、值.这时 f(x)在 a,b 上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点.求法如下：,（比较法）,4.函数的 最大值、最小值及其应用,f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最值；,（2）任意区间（包括无穷区间）上连续函数，有唯一驻点且为极值点,单峰曲线,单谷曲线,转化法（两个条件）,（3）实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数f(x)确有最值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不需要判断f(x0)是不是极值点,就可以断定f(x
5、0)是最值.,实际问题求最值:,(1)列出目标函数，并确定其定义域;,(2)求出目标函数在其定义域内的驻点;,（3）,例1 求函数y=f(x)=2x3+3x2-12x+14在-3,4上的最大值与最小值.,解方程 f(x)=0，得到x1=-2,x2=1,由于,解 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1).,f(-3)=23；f(-2)=34；f(1)=7；f(4)=142,比较可得 f(x)在x=4处取得它在-3,4上的最大值f(4)=142，在 x=1处取得它在-3,4上的最小值f(1)=7.,例2 有一块宽 2a 的长方形铁片，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其截面为矩
6、形，高为 x.问 x 取何值时水槽的流量最大？,解 设两边各折起 x,则横截面的面积为,从而x=a/2就是最大值点，此时S(x)为函数最大值。,依题意知必存在最大值，,设曲线 f(x)在(a,b)内各点都有切线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 f(x)在（a,b）上是凹的如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线f(x)在（a,b）上是凸的.,（1）曲线的凹凸性的定义,5.曲线的凹凸与拐点,定理,（3）凹凸性的判定方法,（2）拐点,求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出二阶导数等于0和二阶导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个
7、区间，并确定 在每个区间的符号,（4）判断：,例1 求曲线 y=2x3+3x2-12x+14的拐点.,解方程 y=0，得,解 定义域为(-,+)，,作业-习题：,2.求下列函数的极值：,4.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：,5.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖20m长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？,6.欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/m，其余三面所用材料的造价为3元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？,7.要做一个上下都有底的圆柱形容器，容积是1，问底半径r为多大时，容器的表面积最小？并求出此最小表面积.,8.求下列曲线的凸凹区间与拐点：,（）,（）,
