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1、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。,3,第一节 中值定理 一、费马引理,第一节 微分中值定理,一、费马引理：,设函数 f(x)在点 x0 的某邻域,U(x0)内有定义,并且在点 x0,可导。如果对任意的,有,定义 导数为零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）。,4,
2、不妨设,证明：,证毕,5,二、罗尔定理,6,R-Th 的几何意义：,A,B,x,y,0,7,证：,f(x)在 闭区间 a,b 上连续，,f(x)在 a,b 上必有最大值M及最小值m,有两种情况:,(1)M=m;,(2)M m.,(1)若 M=m，,则 m=f(x)=M,f(x)为常数，即有,那么(a,b)内任一点都可取作，,M=m 时，定理必成立。,8,(2)若 M m，,M,m 中至少有一个不等于 f(a)或 f(b),不妨设 M f(a),(设 m f(a)同样可证）,又设有 f()=M,因此，对任意,f(a)=f(b),有,从而由费马引理可知,证毕。,9,10,例,11,12,例,13,
3、14,若 f(x)在0,1上有二阶导数，且 f(1)=0,设 F(x)=x2 f(x)，试证在（0,1）内至少存在一点，使,例,证：,F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导(由题意),则由罗尔定理，,又由罗尔定理，,15,三、拉格朗日定理,L-Th 的几何意义：,可以看作是罗尔定理的推广,16,17,18,19,20,21,22,例：,设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,证明存在一点,23,由罗尔定理，存在,证明：,由条件知,F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且,24,此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如,25,
4、例：,设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,证明存在一点,26,27,例,证：,28,例,证明：,分析：,出现函数 arctan x 在a,b上的增量,可用 L定理证明。,由L 定理：,令,证：,29,30,例 证明恒等式,证：,则,=0,所以由前面的定理可知：,在-1 x 1内，f(x)恒等于 C,因为,所以,31,所以有,所以,32,作业,作 业,P167页：3-1(A),2,4,5,6,7,10,P168页：3-1(B),3,6,7,9,33,四、柯西定理,34,35,36,37,38,39,例,设,在a,b上可导，又 ab0.试证,分析：,40,所以如令,对它们在a,b上应
5、用柯西中值定理即可。,请同学们自己完成证明过程。,41,第二节洛必达法则,第二节 洛必达法则,现用C-Th来导出求这类极限的简便方法即:洛必达法则,42,43,44,45,例,注:1,可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较 高的多项式时可避免繁硕的因式分解;2,用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下 是否还为不定型,若不是就不能用洛必达法则,否则 会出错,46,47,例,48,49,例,50,51,例,52,53,但若用洛必达法则:,极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的.,54,可见一味用洛必达法则，则永远无结果。,所以洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。,若用消去
6、无穷因子法：,55,原定理只说,存在等于A或，则,显然后者极限不存在，此时洛必达法则不能用！,但当,不存在，则不能说,此时需要用其它方法求极限。,56,作业,作 业,P174页：3-2(A),1(单),2,P175页：3-2(B),1(单),2,4,6,57,可补充的例,58,59,第三节 泰勒公式,第三节 泰勒公式,60,泰勒(Taylor),(1685 1731),英国数学家,61,不论在近似分析或理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复杂的函数，而在函数中又以多项式较为简单。若能用多项式来近似表达一个函数会给研究带来很大方便。那么又怎样从函数本身找到我们所需要的多项式
7、呢？,62,在微分应用中知，,此式左端是一函数，而右端是 x 的一次多项式。,即用一次多项式来近似代替函数。,但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅,是关于x-x0 的高阶无穷小，且无法具体估计出,误差的大小。,为此，我们用满足一定要求的高次多项式,来近似表达函数，并给出误差的计算公式。,63,来近似表达 f(x).,64,首先，可定出系数：,65,为此，我们有,Taylor 中值定理：,66,展开,拉格朗日型余项。,67,余项Rn(x)又可写成：,68,这种形式的余项Rn(x)称为皮亚诺型余项。,69,称为麦克劳林公式。,70,71,例(1),72,73,74,75,观察这三条曲线在 x=
8、0 附近的弥合程度：,误差不超过,则有,76,同理可求得：,77,78,我们已求得了一些函数的麦克劳林公式,我们还可以类似得到以下函数麦克劳林公式：,79,利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，可以计算一些极限：,80,作 业,P184页：3-3,1,3,5,8(1)(3),81,第四节 函数的单调性和曲线的凸性,第四节 函数的单调性与凸性的判别法,由于中值定理建立了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点的导数之间的联系，因此就为我们提供了一种可能性：利用导数来研究函数值的变化情况，并由此对函数及其图形的某些性态作出判断。,82,一,函数的单调性判定,(上升),（下降）,a,b,a,b,
9、83,从几何上看,y=f(x)在 a,b 上单增(或单减)，,其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。,上升的曲线每点处的切线斜率均为正，,下降的曲线每点处的切线斜率均为负，,84,定理1（单调性判定）,85,86,87,例,88,89,利用单调性证明不等式,利用单调性证明不等式,90,91,例,92,93,例,94,95,作业,作 业,P194页：3-4(A),1,4(2)(4),P195页：3-4(B),1(2),2,4(1)(3),5,96,二,曲线的凸性与拐点 1,曲线的凸性,曲线的凸性,同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。,弦上弧下,则曲线为下凸；,弦下弧上,则曲线为上凸。
10、,97,98,99,P,Q,(I),(II),特别地,若取弦的中点 Q,与曲线弧上的相应点 P,定义1*,设f(x)在区间I上连续,对I上任意两点x1,x2,恒有,则称f(x)在I上的图形是下凸,如(I),P,Q,则称f(x)在I上的图形是上凸,如(II),100,曲线的凹凸性亦可用曲线和切线的位置来描述:,下凸,上凸,直接用定义判别函数的凸性较困难，下面给出利用函数的一阶及二阶导数的性质来判别函数的凸性的方法：,101,凸性判别定理,定理 2（凸性的第一判别法）,定理2的证明可见教材P191页。,102,（凸性的第二判别法）,103,104,105,例,106,例,107,函数的凸性可以用来
11、证明不等式:,108,109,2,曲线的拐点,曲线的拐点,定义 2,连续函数下凸弧与上凸弧的分界点,称为这曲线的 拐点（或扭转点）。,说明：,(2),拐点在曲线上，而不在x轴上，,其坐标为(x0,y0)。,110,拐点的判别,设具有二阶连续导数的曲线 y=f(x),在 x=x0 处有,则(x0,f(x0)是 y=f(x)的拐点。,则(x0,f(x0)不是 y=f(x)的拐点。,拐点的判别,111,设y=f(x)在x0处三阶可导，,则(x0,f(x0)是y=f(x)的拐点。,112,例,113,114,例,115,此例强调虽然函数的二阶导数不存在,但若函数在x0点的二阶导数异号且在x0点连续,则
12、(x0,f(x0)为拐点.,例,116,例,117,例:利用函数图形的凸性证明不等式：,故函数图形是下凸的，,118,作业,作 业,P194页：3-4(A),7(双),8(单),9,P195页：3-4(B),10(1),11,119,第五节 函数的极值和最大最小值 一,函数的极值,第五节 函数的极值与最大、最小值,一,函数的极值及其求法,若f(x)f(x0),则称f(x0)为f(x)的一个,定义,极大值,x0称为极大值点；,若f(x)f(x0),则称f(x0)为f(x)的一个,极小值,x0称为极小值点。,极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。,120,注:极大(小)值都是局部性态,可能出现
13、极大值小于极小值 的情况 极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值,从图中可见曲线在函数的极值点所对应的那些点处具 有水平切线,反之不真,如 y=x3 在x=0 处有水平切线,但 x=0 不是极值点.,121,下面给出函数取得极值的必要条件和充分条件:,Th1 函数取得极值的必要条件,122,由上可见求出函数的驻点后还需判别其是否为 极值点,若是极值点还需判别其是 极大值还是极小值点.,123,Th2 判别极值的第一种充分条件,124,求极值的步骤,125,126,例,127,例,128,Th3 判别极值的第二种充分条件,定理3(判别极值的第二种充分条件),则,f(x)在x0处取到极大值；
14、,f(x)在x0处取到极小值。,（证略）,说明：,则本定理失效。用第一充分条件判定。,129,不能判定，,只能利用第一充分条件判定。,130,131,二,函数的最大最小值,二,函数的最大最小值,132,133,134,例,135,例,136,137,138,作业,作 业,P205页：3-5(A),1(1)(4)(9),2(1),7,P206页：3-5(B),1,5,7,139,第六节 函数图形的描绘,第六节 函数图形的描绘,140,一、曲线的渐近线,定义 如果曲线 C 上的点 M 沿曲线 C 离原点无限远离时,M 与某一直线 L 的距离越来越近，趋近于零，则称 L 为 C 的一条渐近线。,k,
15、x0,则 x=x0为 f(x)的垂直渐近线.,则y=k为 f(x)的水平渐近线.,141,例：,解：,=0，,y=0 为水平渐近线；,0,x=0 为垂直渐近线。,142,斜渐近线 L:y=ax+b,143,二、函数图像的描绘,144,例,列表,曲线过点(0,0),1,2,(1,2),0,0,+,x,y,y,+,驻点：x=1,x=2,例:,极大值,(拐点),故 y=0为水平渐近线,因,145,的图形：,1,2,146,列表,.,例 对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有垂直渐近线 x=0,0(拐点),+,+,因,0,0,+,+,3极小值,+,0,间断点,147,3,148,列表,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有水平渐近线 y=0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x)=y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0(拐点),间断点,间断点,+,曲线有垂直渐近线 x=1，x=1,x=0,149,1,1,150,作 业,P213页：3-6(A),1(1)(3),2(2),P206页：3-6(B),1(双),2(4),作业,151,
