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1、第二章 一元函数微分学,基础训练,综合提高,专题四 讨论方程的实根,专题三 一元函数微分学的应用,专题二 导数的计算,专题一 导数与微分的概念,基础训练,例1,例2,例3,例4,例5,例6,例7,例8,例9,例10,例1,若 满足，且，求,对 两边关于 求导，得,本题只知道 在个别点可导，并不知道 可导,解,再将 代入，得,分析,例2,求经过原点 且与曲线 相切的直线方程,令,所求直线 是过原点 且与曲线 上点,解,得,分析,因此所求直线方程为,是曲线 上点 处的切线斜率，,处的切线平行的直线，,并不与该曲线相切,事实上，令，即方程，无实根，,因此直线 与曲线 无交点，当然不相切,实际上，它是
2、由 复合而成,即误认为 由 复合而成,例3,已知函数，求,解一,（遗漏复合的层次）,（遗漏复合的层次）,解二,解三,（层次结构的错乱）,该函数是幂指函数 求全导数，得,两边取对数得,例4,求函数 的导数,解一,或,或,解二,解三,解一,解二,再两边求导得,因此,方程两边关于 求导，得,所以,例5,求由方程 所确定的隐函数 的导数,解一,所以,解二,方程两边求微分，得,根据拉格朗日中值定理可知正确答案为B,（1）请思考该函数在上述哪个区间上满足罗尔定理,函数,例6,函数 在下列区间上不满足拉格朗日,在,分析,处连续但不可导，,条件的是（）.,A.,B.,C.,D.,评注,（2）我们应重点理解几个
3、中值定理的意义及其应用，举反例去理解是一种好方法,例7,设函数 在 上连续，在 内可导，以下,构造的函数 在 上不满足罗尔定理条件的是（）.,分析,A.,B.,C.,D.,例8,求下列极限：,(1)解一,解二,(2)解,例9,求下列极限：,解一,原式,解二,原式,由于 不存在，故原极限不存在,例9,求下列极限：,（2）解,解二,（3）解一,或,例9,求下列极限：,解二,解一,设,则,得,而当 时，,所以,根据极限的保号性，可知,从而,如此无限循环下去，问题反而不得解决,（1）函数的单调区间及极值；,例10,设函数.描绘函数的图形.,解,得驻点,及不可导点,得表：,从而可得,（2）图形的凸凹区间
4、及拐点；,（3）函数图形的渐近线；等等.,专题一 导数与微分的概念,例11,例12,例13,例14,例15,例16,例17,例18,方法导引,例11,思路,设函数,在点,处的导数,存在，,是常数，求极限,特别，当,至少有一个为零时，上述结果显然成立,例12,思路,对,设,在,上是连续的奇函数，但,存在，证明,在,处可导,有,令,有,由极限的性质知，极限,存在，于是极限,存在,例13,思路,设函数,与,在,处可导，且,证明：必存在,使当,时有,由导数性质知,故由导数定义有,再用极限的保号性,例14,思路,设周期函数,在,上可导，周期为4，,且,求曲线,在点,处的切线方程,例15,思路,分别讨论下
5、列函数在点,处的可导性：,（1）设,在点,处连续，讨论,（1）,于是,由已知得,例15,思路,分别讨论下列函数在点,处的可导性：,（2）设函数,在点,处可导，讨论,（2）,可知,则由极限的保号性得：,当,时，在点,处的某邻域内有,故有,则由导数定义知，当,时，,在点,处可导,同理讨论,的情形,当,时，,例16,思路,讨论函数,在,处的连续性与可导性，其中常数,时不存在,时存在,例17,思路,试确定常数,的值，使函数,在,处可导，并求出此时的,得,由,由,得,注意,例18,思路,设函数,在,处连续，试求函数,在,处的微分,专题二 导数的计算,例19,例20,例21,例26,例22,例23,例24
6、,例25,例27,方法导引,例19,思路,设函数,求,的反函数,在,处的导数,及,例20,思路,设,求,令,则,故,于是,因,故有,于是,例21,思路,设函数,试求,例22,思路,（理工类）,设曲线,由方程组,确定，试求,及该曲线在,处的曲率,可得,有,例23,思路,（理工类）,令,化简方程,得,于是,再代入原方程，去整理,例24,思路,求下列函数的,阶导数：,（1）,（2）,（3）,（1）,（2）,（3）,例25,思路,求,的,阶导数,当,时，,当,时，,例26,思路一,设,求,有,尼茨公式，,对上式两边关于,利用乘积的高阶导数的莱布,求,阶导数得,得,再递推得结论,思路二,例27,思路,设
7、函数,求,用数学归纳法,当,时，,假设,阶导数为,则,专题三 一元函数微分学的应用,例30,例31,例32,例37,例33,例34,例35,例36,例38,例28,例29,方法导引,例28,思路一,证明当,时，,令,则,思路二,任取一点,对函数,在,上应用拉格朗日中值定理，得,例29,思路一,设,证明对任何,有,令,则,从而,思路二,不妨设,要证,即证,两边应用拉格朗日中值定理即证,例30,思路,证明,令,显然,为偶函数，故只需证当,时，,下面用“端点值法”：（1）证明该辅助函数在给定的区间内是单调递增的（2）求出辅助函数在给定区间的左端点处的函数值综合上述两结果即可证得所给不等式,例31,思
8、路,求证当,时，,令,显然函数,在闭区间,上连续，从而存在最值，,下面求出最大值和最小值分别为,和,证得结论,例32,思路,设函数,在,内可导，且极限,与,都存在，证明,在,内任取一点,在,上用拉格朗日,中值定理得，,使,令,有,进行讨论，证得结论,例33,思路,（理工类）,设函数,在,内有三阶连续,导数，且,试证明：,由函数,在点,处的二阶泰勒公式有,两式相减并整理得,令,进行讨论,例34,思路,设函数,在有限区间,内可导且无界，,证明它的导函数,在,内也必无界,（反证法）,假设存在正常数,使,设,是,内任一固定点，,是,内任意一点，,在,或,上应用拉格朗日中值定理知,得,得,例35,思路,
9、设函数,在,上可导，试证明,可取到,介于,与,之间的任何数,不妨设,记,与,之间的任一数为,构造函数,知,在,上必取到最小值，记为,可推得,再用费马定理得,例36,思路,（理工类）,设函数,在,的某邻域内具有二阶,连续的导数，且,记,证明：,先证,有,（有界）,再由,推得,分别令,并把它们代入上式后相加得,再令,用夹逼准则得结论,例37,思路,设函数,在闭区间,上可导，,且,证明在,上，函数,在,上应用拉格朗日中值定理得,在,上再次应用拉格朗日中值定理得,这样依次递推，在,上用拉格朗日中值定理得,于是,例38,思路,（理工类）,设,在,内具有二阶连续导数，且,证明：,（1）对于,内任意,存在唯
10、一的,有,（2）,（1）用拉格朗日中值定理,（2）,将该式与（1）中的式子相减得,在上两边令,有,专题四 方程实根的讨论,例41,例42,例43,例48,例44,例45,例46,例47,例49,例39,例40,例50,例51,方法导引,例39,思路,试确定实常数,的取值范围，使方程,有,实根，并确定实根的个数,令,于是,当,时，,无实根，即原方程无实根,当,时，,又,用连续函数的零点定理,当,时，由,得驻点,知其为最小,值点，由,在,上凹，且,可知要使,有零点，则其最小值,再分,三种情形进行讨论,例40,思路一,设,在,上有三阶导数，且,记,证明在,内至少存在一点,使,在,上用罗尔定理得,再在
11、,上用罗尔定理得,最后在,上用罗尔定理得,思路二,易得,故,于是二阶麦克劳林公式为,由,得结论.,例41,思路,设非正函数,在,上二阶可导，且,又,在,的任何子闭区间内不恒等于零，试证明若,方程,在,内有实根，则该实根必唯一,（反证法）,假设,使,由罗尔定理知至少存在一点,使,再在,上用拉格朗日定理知,于是,这与,相矛盾！,例42,思路一,设函数,在,上连续，在,内可导，试,证明在,内至少存在一点,使,构造函数,在,上用罗尔定理,思路二,构造函数,在,上用拉格朗日定理,例43,思路,设函数,在,上连续，在,内可导，,对,内任意一点,有,证明方程,在,内存在一实根,对原方程作恒等变形,可知令,再
12、用罗尔定理得知结论成立,例44,思路,设函数,在,上存在二阶导数，且,试证明：（1）在,内,（2）在,内至少存在一点,使,（1）（反证法）假设存在,使,对,在,与,上分别应用罗尔定理，再在,上对,应用罗尔定理导出矛盾,（2）构造函数,应用罗尔定理得到结论,例45,思路,设函数,在,上连续，在,内可导，且,试证在,内至少存在,使,将待证等式恒等变形为,上式左边即为函数,在点,处的导数,可知需令,对其应用罗尔定理,例46,思路,设函数,在,上连续，在,内可导，且,试证在,内至少存在,使,先由介值定理知，,再构造,上对其应用柯西中值得,使,在,对函数,在,上应用拉格朗日中值定理得,消去上述两式中的,
13、即得所证等式,例47,思路,设奇函数,在,上有二阶导数，,证明：,（1）存在,使得,（2）存在,使得,（1）令,用罗尔定理,（2）,先由（1）得,再令,在,上用罗尔定理,例48,思路,设函数,可导，证明在,的两个零点,之间必有,的零点,令,设,在,上应用罗尔定理,例49,思路一,设函数,在,上连续，在,内可导，,试证明在,内至少存在,使,令,先由介值定理知至少存在一点,使,再在,上应用罗尔定理,思路二,令,先得在开区间,内部某一点,处取得最大值，,再由费马引理知,例50,思路,设函数,在闭区间,上可导，且,与,异号，则,使得,不妨设,可知 在闭区间,上必取得最大值,由,及极限的保号性知,不可能,为此最大值,同理由,可知,也不可能为此最大值,故此最大值只能在开区间,取得，再用费马引理,例51,思路,设函数,在,上连续,在,内可导，且有,试证明,使,所要证的等式即为,由此构造函数,由积分中值定理及已知条件知,于是,再在,上用罗尔定理,
