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1、第三章 中值定理 与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,例如,第一节 中值定理,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,引理：（费马原理）若函数在点处可导，且有的某邻域内有则必有。,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例2,证,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,化为罗尔定理的结论形式,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
2、,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,例3,证,例4,证,原式得证。,例5,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,例6,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,练 习 题,定义,例如,第二节 洛必达法则,定理,洛必达法
3、则.,证,定义辅助函数,则有,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,例7,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的 类 型.,步骤:,例,例,解,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,例10,解,例11,解,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,三、小结,练 习 题,练习题答案,一、单调性的判别法,定理,第三节 函数的单调性与极值,证,应用拉氏定理,得,例1,解,例2,解,单调区间为,二、单调区间求法,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方
4、法:,例3,解,单调区间为,解：函数的定义域为,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,即（*）式成立。,证明,证明,由连续函数的零点存在定理知：,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,练 习 题,练习题答案,一、函数极值的定义,三、函数的极值极其求法,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,
5、二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),(不是极值点情形),注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,求极值的步骤:,例1,解,列表讨论,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,例4,解,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,练 习 题,练习题答案,一、最值的求法,第四节 最大值、最小值问题,二、应用举例,例1,解,计算,比较
6、得,例2,解:,例3,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟,河的宽度0.5千米 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例4,解得,解,例5,证明:,例6,解:,三、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练习题答案,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯
7、曲方向?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,第五节 曲线的凹凸与拐点,二、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,注意：,例3,解,注意:,例4,解,三、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案,一、渐近线,定义:,1.铅直渐近线,第六节 函数图形的描绘,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例1,解,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,三、作图举例,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,不存在的点,列表,不存在,拐点,极值点,间断点,例3,解,偶函数,图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,例4,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,四、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,凹的,凸的,单增,单减,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,例1,习题课,例2,例3,例4,例5,证,则有,例8,解,奇函数,列表如下:,
