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1、LTI系统的框图结构表示,主要内容：,信号的时域分解用 表示离散时间信号用 表示连续时间信号,LTI系统的时域分析卷积积分与卷积和,LTI系统的微分方程及差分方程表示,奇异函数,第2章 线性时不变系统,引言(Introduction),基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合,LTI系统特点:齐次性和可加性，具有时不变性信号与系统分析理论与方法的基础,问题的实质：,1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号
2、单元的线性组合来构成任意信号2.如何得到LTI系统对基本单元信号的响应,作为基本单元的信号应满足以下要求：,1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号2.LTI系统对这种信号的响应易于求得,如果解决了信号分解的问题，即：若有,则,将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法,分析方法：,离散时间信号中,最简单的是,可以由它的线性组合构成，即：,2.1 离散时间LTI系统：卷积和,一.用单位脉冲表示离散时间信号,对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点
3、都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲,（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）,于是有：,上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位脉冲序列 的线性组合，其中 是权因子,LTI,时不变性,齐次性,LTI,LTI,可加性,LTI,LTI系统对任何输入信号 的响应：,上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum）这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它的单位脉冲响应来表示卷积的意义：单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性,三.卷积和的计算,解析法,求,例：,例：求,例：求,例：,图解法,将一个信号 不
4、动，另一个信号经反转后为,再随参变量 移位。在每个 值的情况下，将 与 对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到 时刻的 可分解为四步，对f(n)=x(n)h(n)（1）换元：n换为k得x(k)，h(k)（2）反转平移：由h(k)反转h(k)右移n位 h(n k)（3）乘积：x(k)h(n k)（4）求和：k 从到对乘积项求和注意：n 为参变量,例2：解：,（1）换元：k换为i得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转f2(i)，再右移k f2(k i),（3）乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和：i 从到对乘积项求和,时，,时，,所以,例3：,时，,时，,时，,时，,时，,
5、分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：,与 的所有各点都要遍乘一次,列表法,通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。,四.卷积和运算的性质,1.交换律：,结论：一个单位冲激响应是hn的LTI系统对输入信号xn所产生的响应，与一个单位冲激响应是xn的LTI系统对输入信号hn所产生的响应相同。,2.结合律:,两个LTI系统级联可以等效为一个单一系统，该系统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响应的卷积,两个级联的LTI系统总的单位脉冲响应与其中各部分级联的次序无关,结论：,3.分配律：,结论：两个LTI系统并联可以用一个单一的LTI系统来
6、等效，该单个系统的单位脉冲响应等于并联的各个子系统的单位脉冲响应之和,4.卷积运算还有如下性质：卷积和满足差分、求和及时移特性：,连续时间信号,（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）,一.用冲激信号表示连续时间信号,2.2 连续时间LTI系统：卷积积分,基本信号的线性组合,如何分解？,用基本脉冲表示任意位置、高度的脉冲,用基本脉冲表示连续时间信号,时不变性,齐次性,LTI,LTI,可加性,LTI,LTI系统,LTI,表明:连续时间LTI系统可以完全由它的单位冲激 响应 来表征。,卷积积分,三.卷积积分的计算,卷积积分的计算：
7、图解法、解析法和数值解法。运算过程：1.参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量 移动。2 对每一个 的值，将 和 对应相乘 3 再计算相乘后曲线所包围的面积。注意：确定积分区间和积分上下限,例1:,当 时，,当 时，,所以：,例2:,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,四.卷积积分运算的性质,1.交换律：,结论：一个单位冲激响应是h(t)的LTI系统对输入信号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激响应是x(t)的LTI系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。,2.分配律：,结论：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。,3.结合律:,两个L
8、TI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积。,由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。,结论：,4.卷积运算还有如下性质：,若，则,卷积积分满足微分、积分及时移特性：,若，则,将 微分一次有:,例如：2.2 中的例2,根据微分特性有:,利用积分特性即可得:,2.3 线性时不变系统的性质,1.无记忆性和记忆性：,LTI 系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。,因此必须有：,即：,（Properties of Linear Time-Invariant Systems）,所
9、以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：,如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。,2.可逆性：,如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。,因此有：,例如：延时器是可逆的LTI系统，其逆系统是，显然有：,累加器是可逆的LTI系统，其，其逆系统是，显然也有：,3.因果性：,对连续时间系统有:这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。,因此必须有：,即：,根据稳定性的定义，由，若 有界，则;若系统稳定，则要求 必有界，由,对连续时间系统，相应有:,这是LTI系统稳定的充分必要条件,4.稳定性：,可知，必须有:,5.LT
10、I系统的单位阶跃响应：,在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产生的响应。因此有:,LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。,2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统,在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。,(Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations),回顾：分析动态电路的过渡过程,例：求uc,一阶RC串联电路系统分析：根据KC
11、L、KVL和VCR关系建立电路方程来描述电路系统,回顾：一阶微分方程的求解,解的结构：齐次通解特解,特解中的系数，由特解代入方程求出通解中的系数由初始条件求出,二阶系统的微分方程描述,(1)以 iL为变量,(2)以uc为变量,回顾：二阶RLC串联电路系统,求解该微分方程，通常是求出通解 和一个特解，则。,一.线性常系数微分方程(LCCDE)（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）,均为常数,例：已知LTI系统，,且系统满足初始松弛条件，即 if t0，x(t)0 then t0，y(t)0 零状态,数字系统描述：三阶数字回声系统,二
12、.线性常系数差分方程(LCCDE):(Linear Constant-Coefficient Difference Equation),一般的线性常系数差分方程可表示为：,可以将其改写为：,若要求 除了要知道所有的输入外，还必须知道。由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程（recursive equation）,当 时，差分方程变为：,求解方程不再需要迭代运算，因而称为非递归方程（nonrecursive equation），其系统单位脉冲响应为：,系统单位脉冲响应是有限长的LTI系统称为 FIR（Finite Impulse Response）系统,当 时，为递归方程描述,系统的
13、单位脉冲响应是一个无限长的序列，称该LTI系统为IIR（Infinite Impulse Response)系统,FIR系统与IIR系统是离散时间LTI系统中两类重要系统,1.离散时间系统的三种基本网络单元：,相加器,单位延迟,乘以系数,例：因果系统，建立该系统的方框图表示,三.系统的方框图表示,2.连续时间系统的基本网络单元,相加器,乘以系数,微分器,积分器,但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分器而不用微分器。,例：已知因果LTI系统：,在第一章介绍单位冲激时，采用极限的观点，将 视为 在 时的极限。这种定义或描述 的方法在数学上仍然是不严格
14、的，因为可以有许多不同函数在 时都表现为与 有相同的特性。,（Singularity function）,例如:以下信号的面积都等于1，而且在 时，它们的极限都表现为单位冲激。,2.5 奇异函数,之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化的非常规函数，被称为奇异函数。通常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。,一.通过卷积定义,根据定义可以得出 的如下性质：,定义 为一个信号，对任何 信号有：,当 时，有,采样性：,原点采样公式,此式即可作为在积分运算下 的定义式。,二.通过积分定义,是偶函数，即：,根据积分下的定义有：,三.单位冲激偶及其他奇异函数,理想微分器的单位冲激响应应该
15、是 的微分，记为，从卷积运算或LTI系统分析的角度应该有：,所以 称为单位冲激偶（Unit doublet）,奇异函数的定义：,由，的各阶导数及 的各次积分组成的一个函数族。,奇异函数的符号表示：,运算定义：,性质：,LTI系统的时域分析卷积和与卷积积分 LTI系统的描述方法：用 描述系统（也可用 描述）用LCCDE连同零初始条件描述LTI系统,2.6 小结（Summary）,本章主要讨论了以下内容：,信号的时域分解:,奇异函数。,用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）。,记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；,系统级联、并联时，与各子系统的关系。,LTI系统的特性与 的关系：,第二章习题：,见黑板,
