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1、4.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,一、函数单调性的判定法,函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？,下页,动画演示,f(x)0,f(x)0,观察结果,函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零,观察与思考,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,下页,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a
2、b上单调减少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f(x)(x2x1)(x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2)这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加,证明 只证(1),在(a b)内任取两点x1 x2(x1x2),下页,说明：判定法中的开区间可换成其他各种区间,下页,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,例1 判定函数yxsin x 在0 2p上的单调性,解
3、 因为在(0,2p)内 y1cos x 0 所以函数 yxsin x 在0 2p上的单调增加,下页,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,因为在(0)内y0 所以函数 yexx1在0)上单调增加,解 函数yexx1的定义域为(
4、)yex1,例2 讨论函数 yex x1的单调性,下页,解 函数的定义域为(),所以函数在0)上单调增加,因为x0时 y0,所以函数在(0 上单调减少,因为x0时 y0,例3,下页,1 设函数yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f(x)的两个相邻的零点 问f(x)在x1 x2上是否单调？2 如何把区间a b划分成一些小区间 使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？,讨论,下页,(1)确定函数的定义域(2)求出导数f(x)(3)求出f(x)全部零点和不可导点(4)判断或列表判断(5)综合结论,确定函数单调区间的步骤,例4 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间,
5、解 这个函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点为x11、x22 列表分析,函数f(x)在区间(1和2)内单调增加 在区间1 2上单调减少,(1),(1 2),(2),y2x39x212x3,下页,说明：一般地 如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正(或负)时 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的,例5 讨论函数yx3的单调性 解 函数的定义域为()y3x2 显然当x0时 y0;当x0时 y0 因此函数yx3在区间(0及0,)内都是单调增加的 从而函数在整个定义域()内是单调增加的,下页,因为当x1时 f(x)0 所以f(x)在
6、1)上f(x)单调增加,例6,证明,因此当x1时 f(x)f(1)=0 即,首页,二、曲线的凹凸性与拐点,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,下页,曲线的凹凸性定义,设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有,那么称f(x)在I上的图形是凹的,那么称f(x)在I上的图形是凸的,如果恒有,下页,观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,动画演示,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0
7、 则f(x)在a b上的图形是凸的,定理证明,例7 判断曲线yln x 的凹凸性,因为在函数 yln x 的定义域(0)内 y0 所以曲线yln x是凸的,解,下页,例8 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0.因为当x0时 y0 所以曲线在0)内是凹的,设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,下页,定理2(曲线凹凸性的判定法),拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？如
8、果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,下页,动画演示,提示 如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.在拐点(x0,f(x0)处f(x0)=0或f(x0)不存在.只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.,下页,拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,例9 求曲线y2x33x22x14的拐点 解 y6x26x12,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.
9、如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,下页,例10 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数y3x44x31的定义域为(),(4)列表判断,在区间(0和2/3)上曲线是凹的;在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点,0,0,1,11/27,下页,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,讨论 曲线yx4是否有拐点？提示 y4x 3 y12x 2 当x0时 y0 在区间()内曲线是凹的 因此曲线无拐点,例11,解,二阶导数无零点;当x0时,二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0 所以点(0 0)曲线的拐点,结束,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,例,注：本例中直接把x=1列为可疑点，避开了分段函数在分段点处的导数。,
