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1、第三章 微分中值定理与导数的应用,3-4 函数的单调性和曲线的凹凸性,一、函数的单调性,单调性定义:给定函数 f(x)在a,b上有定义,(1)x1 x2 f(x1)f(x2),称 f(x)在a,b上单调增加的.,(2)x1 f(x2),称 f(x)在a,b上单调减少的.,下面我们利用导数来研究单调性.,定理1.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则,(1)若x(a,b)有f(x)0,则 f(x)在a,b上单调增加.,(2)若x(a,b)有f(x)0,则 f(x)在a,b上单调减少.,证:利用拉格朗日中值定理,f(x2)f(x1)=f()(x2 x1),x1,x2(a,b),x1 x
2、2时,f(x2)f(x1)与 f()的符号相同,故在(1)条件下,f(x)单调增加;,在(2)条件下,f(x)单调减少.,例1.,解:,由定理1知,注1.若在(a,b)上个别点处 f(x)=0.,其余点f(x)0.则 f(x)也是单增的.,比如,f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,x 0,f(x)0,f(x)在(,+)上单增.,注2.f(x)在(a,b)上变号,则分区间讨论 f(x)的单调性.,例2.,解:,在(,0)上,y 0,故函数在(,0)上单增.,在(0,+)上,y 0,故函数在(0,+)上单减.,如图,例3.证明当 x 0时,有x ln(1+x).,解:设 f(x)=x
3、ln(1+x),当 x 0时,f(x)0.,故在(0,+)上 f(x)单增.,即有当 x 0时,f(x)f(0)=0.,例4.证明不等式 ex(1+x)1 cosx,(x 0),证明思路:用两次单调性,证:设 F(x)=ex(1+x)(1 cosx),=ex x+cosx 2,则 F(0)=0.要证F(x)0(x 0),F(x)=ex 1 sinx,又有 F(0)=0.,F(x)=ex cosx,当x 0时,F(x)0,从而F(x)是单调增加的.,F(x)F(0)=0.,又得F(x)是单调增加的,所以x 0时,F(x)F(0)=0.,二、曲线的凹凸性,凹凸性标志着图形弯曲的方向.,如图(a),
4、(b),(b),(a),若曲线弯曲的方向向上(下),即曲线上任意两点间的弧段位于连接该两点的弦的下(上)方.,则称该曲线是凹(凸)的.,用数学式描述如下:,在曲线 y=f(x)上任取两点(x1,y1)和(x2,y2),其中y1=f(x1),y2=f(x2).,不妨设x1 x2.连接两点的弦的方程为,即,固定t0,1,则可得区间(x1,x2)内一点,x=x2+(x1 x2)t,=t x1+(1 t)x2,这时对应弧的纵坐标A:f(t x1+(1 t)x2),弦上对应点的纵坐标B:,y2+(y1 y2)t=t y1+(1 t)y2,=t f(x1)+(1 t)f(x2),故得如下定义.,定义1.设
5、 f(x)在a,b上有定义,x1,x2a,b(x1x2)和t(0,1),若有,f(t x1+(1 t)x2)t f(x1)+(1 t)f(x2)(1.1),则称f(x)在a,b上的图形是凹的.,则称f(x)在a,b上的图形是凸的.,若有,f(t x1+(1 t)x2)t f(x1+(1 t)f(x2)(1.2),定理2.若 f(x)Ca,b,且在(a,b)内具有二阶导数,那么,(1)x(a,b),f(x)0,f(x)图形凹.,(2)x(a,b),f(x)0,f(x)图形凸.,证明:令 x0=t x1+(1 t)x2,由泰勒公式,设 f(x)0,代入x1,x2,其中 1在 x0到 x1 之间 2
6、在 x0到 x2 之间,所以 t f(x1)+(1 t)f(x2),f(x0)=t f(x1+(1 t)x2),此即 f(x)图形是凹的.,定理3.设f(x)Ca,b,且在(a,b)内可导,若f(x)在(a,b)内单增(减),则 f(x)在a,b上的图形是凹(凸)的.,例5.证明曲线 y=xlnx 是凹的.,证:在函数定义域(0,+)上,y=xlnx+1,故曲线在(0,+)上是凹的.,例6.证明当 x 0,y 0,且x y 时,有不等式,证:令 f(x)=xn,成立,其中 n 1.,在(0,+)上,f(x)=n(n1)xn2 0,故 f(x)在(0,+)上是凹的.,即有,f(tx+(1 t)y
7、)t f(x)+(1 t)f(y),即,定义2.设f(x)C(U(x0),若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧凹凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点.,比如,y=x3,y=6x,在(0,0)两边曲线凹凸性相反,故(0,0)是一个拐点.,定理4.(必要条件)若 f(x)存在,且点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点,则 f(x0)=0.,定理5.(充分条件)设f(x)C(U(x0),且在(x0)内具有二阶导数,若f(x)在(x0)点x0的两侧符号相反,则(x0,f(x0)是拐点.,例7.讨论曲线 y=3x44x3+1的凹凸性,并求拐点.,解:y=12x3 12x2,y 的符号见下表,x,y,(,0),+,0,0,0,+,曲线,凹,凸,凹,例8.,解:,且在(,0)内,y 0,曲线为凹的.,在(0,+)内,y 0,曲线为凸的.,所以(0,0)为曲线的拐点.,例9.分析由参数方程,解:,确定的曲线 y=f(x)的凹凸性并求拐点.,当1 t 1时,当 t 1时,即x 4,y=f(x)是凸的.,即4 x 4时,y=f(x)是凹的.,当 t 1时,即x 4时,y=f(x)是凸的.,(4,1)和(4,1)都是曲线 y=f(x)的拐点.,
