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1、第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、函数单调性的判定法,定理1.,证:,应用拉氏定理,得,例1,解：,说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义区间为两个具有单调性的区间.,例2,解：,说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两个具有单调性的区间.,注:函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调.,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.,说明：驻点和导数不存在的点,可能是单调区间的分界点.,求单调区间的方法:,例3.确定函数,的单调区间.,解:,(2)求驻点:,单调增加区间:,单调减少区间
2、:,(1)定义域:,(3)列表判断:,例4.确定函数,的单调区间.,解:,单调增加区间:,单调减少区间:,0,(2)求驻点:,(1)定义域:,(3)列表判断:,例5,证：,例6.,证:,证毕.,例7.,证：,令,(1)存在性.,例7.,三、曲线的凹凸性与拐点,弧 ADB 是凹的;,弧 ACB 是凸的.,定义:设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是(向上)凹的(或凹弧);,(2)若恒有,则称,图形是(向上)凸的(或凸弧).,定理2.,(1)x(a,b):,则f(x)在a,b图形是凹的;,(2)x(a,b):,则f(x)在a,b图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说
3、明(1)成立;,(2),设函数,证毕,例9.,解:,定义域:,D=(0,).,例10.,解:,2.曲线在点(0,0)两侧的凹凸性发生改变.,说明:1.二阶导数等于零的点划分函数的定义区间为两个凹凸区间;,0,定义域:,D=(,).,例11.判定曲线,的凹凸性.,解:,不存在,说明:二阶导数不存在的点划分函数的定义区间为两个凹凸区间;,定义域:,D=(,).,若连续曲线 y=f(x)经过点 时凹凸性,定义:,发生改变,则称该点为拐点.,拐点的判别法:,求凹凸区间及拐点的方法:,(1)求函数 f(x)的定义域 D;,例12.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,(1)定义域:D=(,+);,(3),对
4、应,(4)列表判别.,凹区间:,凸区间:,(0,1),拐点:,凹,凹,凸,x,y,(2),例13.判断曲线,的凹凸性.,解:,且曲线,在,上是凹的.,说明:,若在某点二阶导数为 0,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,拐点的必要条件:,例14.,解:,(2,4)是拐点,x=3 是极值点,联立(1)-(3),得,a=6,b=9,c=2.,例15.,利用函数的凹凸性证明不等式:,证明:,即,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,2.,证,.,3.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,证明:,当,时，,有,证明:,令,则,F(x)是凸函数,即,4.,(自证),有位于一直线的三个拐点.,5.求证曲线,证明：,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,7.,证:,i),ii),证毕.,作业P152:3(1)(3),8(1)(3),9(1)(2),12.,
