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1、函数的单调性 和曲线的凸凹,一、单调性的判别法（利用导数解决单调性问题）,定理,(2)函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,(1)将此定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。,注意：,即：区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,单调增加,函数图像与导数的关系：,对于某区间上的函数y=f(x)，导数为正，曲线上升；导数为零，曲线不升不降（水平曲线）；导数为负，曲线下降。,例1,解:,例2,解,解,练 习,函数单调增加.,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义
2、:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,二、单调区间的求法,例3,解,单调区间为,例4,解,单调区间为,注意:导数不存在的点，有可能成为单调区间的分界点。,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,求函数,单调区间。,练 习,解,在-1,3内，,函数的定义域,利用单调性证明不等式，也是我们常用的方法。,例5,证 设,三、曲线凹凸性与拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧总是位于任意切线的上方,（向上）凹的,（向
3、上）凸的,图形上任意弧总是位于任意切线的下方,（向上）凹的,（向上）凸的,定义,四、曲线凹凸的判定,定理,例6,解,曲线在 为凸的,例7,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1、定 义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,方法1:,判定曲线的凹凸性 与求曲线的拐点的一般步骤为：,(1)求函数的二阶导数；,并求出所有使二阶导数不存在的点；,(3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查,其邻近左、右两侧,的符号，确定,曲线的凹凸区间和拐点.,例8,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例9,解,注意:,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考题,思考题解答,例,练 习,确定函数 的单调区间.,解,确定函数 的单调区间.,该函数的单调减区间为：,单调增区间为：,练 习,解,例6,证,
