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1、第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、函数单调性的判定法,若,定理 1.设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,例2.证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,证,*证明,令,则,从而,即,定义.设函数,在区间 I 上连续,
2、(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,图形是凸的.,二、曲线的凹凸与拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,拐点,定理2.(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 f(x)在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 f(x)在 I 内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例3.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,
3、例4.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,对应,例5.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,作业 P152 3(2),(6);5(4);9(3);10(3);14,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,=,证明:,当,时,有,证明:令,则,是凸函数,即,2.,(自证),
