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1、第二章 圆锥曲线与方程1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程,神舟九号,情景一：2012年6月16日18时37分,神舟九号飞船在酒泉卫星发射中心发射升空.与天宫一号实施自动交会对接.为中国今后建设大型空间站积累了难以估量的经验.,相信同学们通过努力一定可以为祖国创造出更多骄傲!,那么数学中的椭圆到底是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究！,情景二：行星运动第一定律：椭圆定律,探究点1 椭圆的定义,动手操作：将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.,提示：圆,鼠标点击小球滑动,思考1 将细绳
2、的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点F1，F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？,结论：笔尖画出的轨迹是椭圆.,思考2 在画椭圆的过程中，,(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？提示：固定的.(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？提示：没变化.保持笔尖到两定点的距离和不变.(3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？提示：三点M，F1，F2不共线时，构成三角形，两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离.,椭圆的定义：,椭圆的定义的符号表示：,我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和_（大于|F1F2|）的点的集合叫作椭圆.这两个_叫作
3、椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的_.,等于常数,定点,焦距,思考3 椭圆定义中为什么要求常数大于|F1F2|(即2a2c)？提示：当|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|时动点M的轨迹才是椭圆.,探究点2 椭圆的标准方程,如图，给定椭圆，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|=2c（c0）,椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于2a（ac）.以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段 F1F2 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,则焦点F1，F2的坐标分别是(c,0)，(c,0).,设M（x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，椭圆上的点M 满足,因为,所以,移项后两边平方、整理
4、，得,上式两边平方、整理，得,即,由椭圆定义可知,所以,代入上式，得,这说明椭圆上点的坐标满足以上方程.我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.,抽象概括：,我们将方程,叫作椭圆的标准方程，,焦点坐标是,如果椭圆的焦点在y轴上，如图，其焦点坐标为,用同样的方法可以推出它的标准方程为,其中,思考1 如何用几何图形解释,在椭圆中分别表示哪些线段的长？,在直角三角形OMF2中，由勾股定理得=a2-c2=b2,提示：如图，点M是椭圆与y轴的交点，此时,可见，,思考2 当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？,提示：如图，,即,可见，当a为定值时，随c的增大，b减小，椭圆变扁；随c的减
5、小，b增大，椭圆越接近于圆.,解:由已知,得,由定义可知点A的轨迹是一个椭圆，且,即,所以,如图，建立平面直角坐标系，使x轴经过B,C两点，原点O为BC的中点.当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，因此,点A满足的轨迹方程是,提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足条件的点.,B,C,A,例2:求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10.,解:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为,由题意，,所以,所求椭圆的标准方程为,设所求椭圆的标准方程为,解：因为所求的椭圆与椭圆,的焦点
6、相同，,所以其焦点在x轴上，且,所以有,因为所求的椭圆过点,又因为,由 得,所求椭圆的标准方程为,【变式练习】,解析：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为,将,的坐标代入椭圆方程，得,解得,当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为,解得,故所求的椭圆方程为,【提升总结】,求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置.（2）设出椭圆的标准方程.（3）用待定系数法确定a，b的值，写出椭圆的标准方程.,1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则动点P的轨迹为（）,A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹,B,2.已知椭圆的标准方程为,则焦点坐标为()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(0,1)解析：由标准方程 得a2=4,b2=3,所以c2=a2-b2=1，所以焦点坐标为(1,0).,C,3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)，(0,3)，椭圆上的点P到两焦点距离的和等于8.求椭圆的标准方程.,解析:因椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为,由题意，,所以，,椭圆的标准方程为,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合,标准方程,不 同 点,相 同 点,图 形,焦点坐标,定 义,a,b,c 的关系,焦点位置的判断,
