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1、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：a f G)恒成立a f G) ； aa f(x)能成立n a； a f G)fh成立af(x)在M上恒成立3、恰成立问题的转化：a fx)在M上恰成立的解集为Mo(.一八、aA在D上恰成立,等价于在D上的最小值f (x) = A , e D,/(x) Bmin在D上恰成立，则等价于f 3)在D上的最大值f M = B.max4、设函数fG)、gG）,对任意的气A,认存在投t, d,使得 f（x ） g（x ）,则 / G） g G）12minmi
2、n5、设函数 fG)、gG),对任意的工 G L , Z?,存在G C , tf,使得 f(x ) g(x ),则 f G) g(JC ),贝 ijf Q)g (x)7、设函数 yG)、gG),存在气 ，认 耳在 X2 e t ,6?,使得 f(x) 则 fminQ)g(x)在区间D上恒成立，贝IJ等价于在区间D上函数y = f(x)和图象在函数y = g(x )图象 上方；10、若不等式f G) f 3)在g。上恒成立=mN f (x)max思路 2. m f 3)在g 上恒成立 m 0，则根据函数的图象(直线)可得上述结论等 价于r f (m) 0厂 f (m) 0同理，若在mn内恒有f(
3、x)0，则有 f (n) 0例2.对于满足|a|2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数显然可 将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a| 0X2 - 4x + 3 0x 3或x 1 0x2 -1 0X 1或X -1.x3.即 xE(8, 1)u(3,+8)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或 下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学
4、们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数y=axbx+c(a手0大于0恒成立，则有a 0且 V 0(2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设f(x)= ax2 + bx + c(a。0)在r上恒成立，(1) f (x) 0在x e R 上恒成立=a 0且 0；(2) f (x) 0在工e R上恒成立o a 0且A 0 时，f (x) 0在x eb / ba b Rv a a P以,p上恒成立o 0 0f (x) V 0在x e a, p 上恒成立 o(2)当 a V 0时，f (x) 0在x
5、e a,p上恒成立off (a)0I f (P) 0b/ b亦b Rf (x) V 0在x e a, P 上恒成立 o 一 以命2a或5a %- P-p-2a或 P 2a、f (a) 0Av 0f (P) v 0类型3：设f (xN ax2 + bx + c(a。0)在区间(* , a上恒成立。f(x)0oa0 且Aa且 f(a)0f(x)0oa0 且Aa且 f(a)0oa0,A0 或-b/2a0f(x)0oa0,A0 或-b/2aa且 f(a) 0在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数 a +1的讨论.解：依题意，当x e R时， 2(a2 1)x2 + (a 一 1)x + 0 恒成立，a
6、 +1所以，当a2-1=0,即当4:时，a=1,此时(a2 1)x2 + (a 一 1)x + 2 = 1 0,.a = 1.a +1a 2 -1 0,当a 2-言0时，即当侦=(a -1)2 - 4(a 2一1)二 1有n 1 a 9,a 2 - 10a + 9 0恒成立，求a的取值范围.分析：V = f (x)的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解： = a2 - 4(3 - a)= a2 + 4a -12 0 /.-6 a 0恒成立，求a的取值范围.解析一.(零点分布策略)本题可以考虑fx)的零点分布情况进行分类讨论，分 0 0-2 0 f 0无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的
7、右侧三种情况，即A 0f 0 -7, 2.解法二分析：(运用二次函数极值点的分布分类讨论)要使x e-2,2时，f (x) 0恒成立，只需f (x)的最小值g(a) 0即可.略解：(分类讨论)f (x) = x + a -号-a + 3，令f (x)在2,2上的最小值为g(a). k2 74a7当一 4 时，g (a) = f (-2) = 7 3a 0 a 423a不存在.当-2-22，即-4a0 6a2 又Q -4a 2，即 a 0 /. a -7 又。a 4 :.7 a 42综上所述，7 a 2恒成立，求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明f (x) 2在2,2上恒成立，若把2移到等
8、号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-2,2时恒大于等于0的问题.例2已知f (x) = x2 + ax + 3 a，若x e 2,2, f (x) 0恒成立，求a的取值范围.略解：f (x) = x2 + ax + 3 a 2 0，即 f (x) = x2 + ax +1 a 0 在2,2 上成立. A = a2-4(1 -a) 0-2-2、；2 a 0f 0 0-5 a 2或a222综上所述，- 5 a 2、：2 - 2.解法二：(运用二次函数极值点的分布)当 一 a 4 时，g (a) = f (2) = 7 3a 2 二 a 9 任(4,+8)a 不存在.23aaa 2当一2 2
9、 2，即4 a 2，2 克2 a 22 2 .4 a 2，即a 2，a 5 二5 a 4综上所述5 a g(a)恒成立，则g(a)f(x)min；若对于x取 值范围内的任何一个数，都有f(x)vg(a)恒成立，则90)心扁.(其中Hx和从扁分别为购爵*大值和最小 值)例5.已知三个不等式X2 - 4x + 3 0 , X2 -6x + 8 0, 2x2 - 9x +m 0.要使同时满足的所 有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2x3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 -9x + m0xe (2,3)上恒成立，即m -2x2 + 9人在X e (2,3)上恒成立，又 - 22 +
10、 9x在X c (2,3)上大于9,所以m9例6.函数/3)是奇函数，且在-1,1 单调递增，又/(-1) = -1 ,若/t2at + l对所有的a e -1,1都成立，求r的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，=又 f 3)在-1,1上单调递增/=f=1max0 f(x) 2或 l = 0或 z -2即：r e(-a),-2Y0Y2,+oo)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例.B/(x) = xlx-al+Z?,xeR .若be。,且对任何xeo,l不等式/(x)0恒成立，求实数的取值 范围.解：当x = 0时，取任意实数，不等式/(x)0恒成立，故只需考虑工
11、e(0,1，此时原不等式变为I尤一 a l-b x即 x + a 1 + b，X min故(x + ) a (x - ) , x e(0,1又函数g(x) = x + b在(0,1上单调递增， x对于函数h(x) = x- b,x e(0,1x当b -1时，在(0,1上h(x)单调递减所以，此时a的取值范围是(1+ b,1 -b).当-1 b 2、,-b， x当x = 4b时，(x - b) = 14b，此时要使a存在，必须有1 + b 2*-b即-1 b 2J2-3，此时a的取值范围是(1+ b,2舟)I -1 b 0综上，当b -1时，a的取值范围是(1+ b,1 -b)；当-1 b 盘一
12、3时，a的取值范围是(1+ b,2痂)；2分当2*2-3 b a恒成立，求实抵的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数x，不等Nx +1|-|x-2 a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.一 3x -1解：令 y = |x + 1|-|x - 2 = 2x -1 -1 x 21在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实麴，不等式乂 + 1|-|x-2 a恒成立，只需a 。恒成立，求实数I改为 对任意实麴，不等式+1 -|x-2 3; 对任意实数:，不等式尤+1| + |x - 2 Q恒成立，求实数加构造
13、函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数 图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8.设常数aR，函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围 为。解：1) a=0x=a/2=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a=2则与g(x)有交点，即：-2=a0x=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2 时，f(x)=3x+(2
14、x-a)=5x-a最小值a=2时与g(x)有交点，即：0a=2综上所述，-2=a 0恒成立，求a的取值范围。2a2a解：因为iog2 a+i的值随着参数a的变化而变化，若设t=iog2 a+i，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3-1)x2 + 2tx - 2t 0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于3 -1 02a求解关于t的不等式组： 。解得t 0,即有log 一- v 0,易得0 a 1。A = (2t) 2 + 8t(3 -1) 0恒成立，求实数c的取值范围。(二) 分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角0总有sin29 + 2mcos0 + 4m-1 0成立，
15、求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos0 + 4) 0，则原不等式等价变形为2m vC0S2 0cos0 + 2恒成立。根据边界原理知，2m必须小于f(0)=cos2 0cos 0 + 2的最小值，这样问题化归为怎样求cos2 0cos0 + 2的最小值。因cos2 0为 f(0) = cose(cos0 + 2)2 一 4(cos0 + 2) + 4cos0 + 24=cos0 + 2 + 4cos0 + 2 4 一 4 = 0即cos0 = 0时，有最小值为0，故m v 0。(三) 变更主元，简化解题过程4、若对于0 m 1，方程x2 + mx 一 2m-1 = 0都
16、有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则m(x - 2) = (1 一 x)2，1 x21 x2由原方程知X。2，得m = 又0 m 1，即0 1x 一 2x 一 2-1 -而-1 +而解之得一Z x -1 或 1 x 。5、当切| 0恒成立，求x的取值范围。(四) 图象解题，形象直观6、设x e (0,4，若不等式x(4-x) ax恒成立，求a的取值范围。解：若设 =Jx(4 - x)，则(x 2)2 + y2 = 4(七 0)为上半圆。设y2 = ax，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内作出函
17、数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有a v 0时成立，即a的取值范围为 a v 0。7、当xe (1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax，则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切xg (1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故 loga21, . 10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1=x2+4x=(x+2)2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线y2的图象是k=
18、2,而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点(-4, 0)，此时纵截距为-8-6a-4=0,a= 2 ;2 2、当直线为l2时，直线过点(0，0)，纵截距为-6a-4=0，a= 3.a的范围为2,-)(五) 合理联想，运用平几性质9、不论k为何实数，直线y = kx +1与曲线x2 + y2 一 2ax + a2 一 2a 一 4 = 0恒有交点，求a的范围。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若 考虑到直线过定点A (0， 1)，而曲线x2 +
19、 y2 一 2ax + a2 一 2a 一 4 = 0为圆，圆心C (a，0)，要使直线恒与圆 有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：(x- a)2 + y2 = 4 + 2a，C (a，0)，当a 2时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A (0，1)必在圆上或圆内，即点A (0，1)到圆心距离不大于半径，则有a2 + 1 2)，得1 a 3。(六) 分类讨论，避免重复遗漏10、当|ml m(x2 1)恒成立，求x的范围。解：使用lml0时，要使不等式m恒成立，只要2，解得1vx。一 -2x 12x 1 一 1 +、7 一当x 2 - 1 v 0时，要使不等式= 0恒成立，只有x =
20、 1。1+J71 +t-综上得一-v x v AA解法2：可设f (m) = (x2 1)m (2x 1)，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2 1) (2x 1) v 0，；令f (m) = m(x2 1) (2x 1)，则2 m 2一I f (2) v 0时，f (m) v 0恒成立，所以只需 即I f 02(x2 1) (2x 1) v 0，所以x的范围是2(x2 1) (2x 1) v 01 + 17 1 +3x e (一-一,一)。此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(
21、或下方)即可.11、当1 x 0恒成立，求实数a的取值范围。x 33= x 3当1 2(； = 6，当二=，即x = y 6时等号成立。2 x 122 x故实数a的取值范围:a 点(七)构造函数，体现函数思想1x + 2x + 3x + A + (n 1)x + nxa12、(1990年全国高考题)设f (x) = lg，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且n 2，如果f (x)当x e(8，1时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于x e(8，1，有1x + 2x+A (n 1)x + nxa 0恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将，1、2,
22、n 1 a ()x + ()x +A + ()x(n 2)，对于 x e (8，1恒成立。nnna分离出来，得构造函数g(x) = ()x + ()x +A +()x，则问题转化为求函数g(x)在x e (8,nnn、，k、 _ 一 . 一、 ,由于函数u(x) = ()x(k = 1，2，A，n 1)在x e (8，1上是单调增函数，n1上的值域。则g(x)在(-8，1上为单调增函数。于是有g(x)的最大值为：g=；(n 1)，从而可得、1， na -(n 1)。2(八)利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，m, nu f (a), g (a)若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合
23、之间的包含关系来求解，即: 则f (a) n，不等式的解即为实数a的取值范围。/1 一 例13、当x e - ,3时k3 J|log/| v 1恒成立，求实数a的取值范围。1(1 )_r 1 )v xva，则问题转化为，3c 一，aak3 Jk a J(1)当 a 1 时，解：Q 1 v log / v 1a 3. 3-a3(2)当0 a 1时，1(1 _r 1 a v xv ，则问题转化为 ,3Q a,一a3 Ja J综上所得：0 v a 3四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数 f (x) = x2 - 2ax +1, g(x) = a , x对任意x
24、 e 1,2,x e 2,4,都有f (x ) g(x )恒成立，求实数a的取值范围；1212【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数，(x)和g (x)分别求最值，即只需满足f (x) g (x)即可.mmmax简解：令 n(a)= g (X)=a/2；令 m(a)=f . (x),f(x) = (x-a)2+1-a2, 故对称轴x=a1,即或0an(a)解得a4/5,(注意到a的范围) 从而得a的范围：0a2时，m(a)=f . (x)=f(2)=5-4a，由m(a)n(a)解得an(a)解得a 或a V，4(注意到a的范围)从而得a的范围1v a g (x)，则实 2J1212数m的取值
25、范围为解析：对任意x e ln,2，存在x e1,2，使得f (x ) gG)等价于g(x) J1*-m在1,2上的最小值1 -m 12122J4不大于f (x) = x2在10,2上的最小值0，既4 -m 4【例,】 已知函数=号-：+虫，若存在 &右1 ,7 使木等式) Mm,求实数成 的取值解1十 (jcaO),，*) = jc 十 + 由*e 1亦：)0符斯数穴攵)在区间w 1 .白为埴函数、则当*芒口技时右+/、 故要使存在牛e L使不等式fWm成立只jn M 即可.【例】 巳知龈教/O)=京：3的定义域为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 题型三、分
26、离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数使不等式f(x)A成立，则等价于在区间D上f G)max A ；若在区间D上存在实数x使不等式f(x) B成立，则等价于在区间D上的f G) B .min1、存在实数X，使得不等式lx + 3l+lx-lla2-3有解，则实数。的取值范围为。解：设 f (x)= k + 3l + lx-ll ,由 /(x) /G), min3 lx + 3I + lx 11 + 3)- G -1)1 = 4 , . q2 3a N
27、4，a N 4或q -1。1、求使关于P的不等式入2 +px + lp + 2x pG -2, 2有解的x的取值范围。解：即关于 p 的不等式(X 1) + 工2 -2x + l)= (x l)j + %2 2x + l,则f (p)在-2, 2上 的最小值小于Oo(1)当 xl 时,f(p)关于 p 单调增加，故 f (p) =f (-2) =x2-4x+30,解得 lx3;min 当xl时，f(p)关于p单调减少，故f (p)=f (2)=X2-1O,解得-1X1；当 x=l 时，f (p)=0,故 f (p)=f (p) 1 (m0)有解；若命题P和命题Q都是真福题，求m的值范围。解：由
28、P真得：lx -尤1=展2+8,注意到a在区间T,l, & 一工I =3, 1212 max由于|皿-5m-31 N | x -x |对任意实数T, 1恒成立，故有I m2 - 5m - 311 x - x I =3 1212 max解得：m6 或 0ml(m0)有解，得(|x-2m|-|x|)=2ml,解得：ml/2-.max由于(1) (2)都是相公命题，故m的值范围：l/2m。对于a g (-oo,3恒成立，求实数*的取值范围. 22分析：(1)由 4* 。2，+20 得：a ,所以 2工 + 2 2/2 ,2尤22工当2x =握时等号成立.所以有。 0对于a g (-co,3恒成立是关于。的一次不等式.不妨设 f (。) 2-a + (4.x + 2),则f (。)在。g (8,3上单调递减，则问题等价于f 。，所以43 2工 + 20 n 2工 2 或 2x 1,贝tj x 取值范围为(8,0) Y (1,+s).小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转
