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1、3.1.2 用二分法求方程的近似解,（1）通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系,初步形成应用函数 观点处理问题的意识；(重点）（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.（难点）,在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？,如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？,如图,设闸房和指挥部的所在处为点A,B,B,1.首先从中点C查,2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定
2、 故障在BC段,3.再到BC段中点D,4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段,5.再到CD中点E来看，依次进行,这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为原来的一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50100m左右，即在一两根电线杆附近,这在现实生活中也有许多重要的应用其思想方法在生活中解答以上这类问题时经常碰到解答以上这类实际问题关键在于，根据实际情况加以判断和总结，巧妙取中点，巧妙分析和缩小故障的区间，从而以最短的时间和最小的代价达到目的,假设在区间-1,5上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(-1)0,f(5)0，即f(-1)f(5)0，我们怎样依如上方法求得方程f(x)
3、=0的一个解?,取-1,5的中点2，因为f(2)0,f(5)0,即f(2)f(5)0,所以在区间2,5内有方程的解，于是再取2,5的中点3.5，,如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0,则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不为0，那么，不断重复上述操作，零点所在的范围会越来越小.,像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.,二分法的定义：,定义如下：对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisectio
4、n）.,给定精确度,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：,1.确定区间，验证，给定精确度；,2.求区间（a,b）的中点c；,3.计算,（1）若，则c就是函数的零点；,（2）若,则令b=c(此时零点x0(a,c)；,（3）若,则令a=c（此时零点x0(c,b).,即若，则得到零点近似值a(或b）；,4.判断是否达到精确度：,否则重复步骤24,例1.求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度为0.01）.,解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内,y=2x+6,y=lnx,（2，3）,f(
5、2)0,2.5,f(2.5)0,（2.5，3）,f(2.5)0,2.75,f(2.75)0,（2.5，2.75）,f(2.5)0,2.625,f(2.625)0,（2.5，2.625）,f(2.5)0,2.562 5,f(2.562 5)0,（2.531 25，2.562 5）,f(2.5)0,（2.5，2.562 5）,f(2.531 25)0,f(2.531 25)0,2.539 062 5,2.546 875,（2.531 25，2.546 875）,2.531 25,f(2.539 062 5)0,f(2.531 25)0,（2.531 25，2.539 062 5）,f(2.546
6、875)0,f(2.531 25)0,列出下表：,由于,所以，可以将,作为函数,零点的近似值，也即方程,的近似根.,注意精确度,由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.,利用计算器，求方程 lgx=3-x的近似解.（精确度0.1）,解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内.,设 f(x)=lgx+x-3,因为|2.625-2.5625|=0.06250.1，所以可以将x=2.625作为原方程的一个近
7、似解.,（2，3）,f(2)0,2.5,f(2.5)0,（2.5，3）,f(2.5)0,2.75,f(2.75)0,（2.5，2.75）,f(2.5)0,2.625,f(2.625)0,（2.5，2.625）,f(2.5)0,2.562 5,f(2.562 5)0,（2.562 5，2.625）,f(2.562 5)0,列出下表：,用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解寻找解所在区间的方法：（1）图象法:先画出y=f(x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围.（2）函数法:把方程均转换为 f(
8、x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.,例2.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.,解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表和图象如下：,因为f(1)f(2)0，所以 f(x)=2x+3x-7在（1，2）内有零点x0,取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)0.33，因为f(1)f(1.5)0，所以x0（1，1.5）,取区间（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)-0.87，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0（1.25
9、，1.5）,同理可得，x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.437 5），由于|1.375-1.437 5|=0.062 50.1所以，原方程的近似解可取为1.437 5.,请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？,1.函数y=f(x)在a,b上连续不断.,2.y=f(x)满足f(a)f(b)0，则在(a,b)内必有零点.,注意用二分法的条件,1.用二分法求函数,在区间（0，1）内的零点（精确度0.1）.,取区间(0,1)的中点,所以近似零点可取为0.6875.,再取区间(0.5,1)的中点,2.（2012郑州高一检测）下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）
10、,C,3.(2012抚州高一检测)某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2,算得f(1)0;在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4个值中最后一个值是_.,1.812 5,4.对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？,不行,因为不满足 f(a)f(b)0,1.二分法的定义；2.用二分法求函数零点近似值的步骤；3.逐步逼近思想；4.数形结合思想；5.近似与精确的相对统一.,定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断.,口 诀,世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。,
