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1、数格点 算面积,徐州市第十三中学 董 磊,2010年10月28日,恳请各位专家同仁批评指正！,数学综合与实践活动,哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17棵树，弟弟的面积大！”,弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的面积大！”,如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多边形.,格点,格点多边形,预备知识,若格点多边形的面积为S，多边形边上的格点数为L，它内部的格点数为N.,面积 S17.5,边上的格点数L9,内部格点数N14,活动任务,试探究出S与L、N之间
2、的数量关系.,活动一 探究N0的格点多边形的S与L之间的数量关系,活动二 探究N1的格点多边形的S与L之间的数量关系,活动三 探究N2的格点多边形的S与L之间的数量关系,活动四 探究N3的格点多边形的S与L之间的数量关系,通过以上活动，探究任意格点多边形的S与L、N之间存在什么数量关系，试继续通过画图验证你们的结论,活动五,通过以上活动，探究任意格点多边形的S与L、N之间存在什么数量关系，试继续通过画图验证你们的结论,活动五,如果格点多边形的面积为S，多边形内部格点数为N，它边上的格点数为L，那么S与N、L之间存在如下的数量关系：,奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1
3、8591943）在1899年发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理”，该定理被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.,定理学习,把一个多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形；,把一个多边形的一边向两方延长，如果其他各边分别位于延长所得直线的两旁，这样的多边形叫做凹多边形.,L6 N7 S9,L8 N5 S8,请你在下面的网格中设计一个格点多边形，并利用上述定理求出各格点多边形的面积,活动六,请你在下面的网格中画出一个S9，N6的格点多边形,活动七,L8,本次活动，我们经历了画图、填表、分析数据、探求规律的过程发现、验证
4、、应用了皮克定理获取了“由简单到复杂”探究问题的方法和经验，提高了分析问题、解决问题的能力.,解决“探求规律类问题”时，首先要多画图、列式，为总结规律提供素材；然后要纵向、横向比较所列式子各部分的异同，发现变量和不变量，总结出规律；最后还要验证所得规律,皮克定理中含有多个变量，在探求该公式时我们采用了变量控制法的科学思维方法，即通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律“以不变应万变”地帮助我们简化了问题，后续学习时请大家尝试使用,活动小结,1.举例说明以往学习中解决哪些问题时使用到了“由特殊到一般”、“分类讨论”等重要的数学思想方法,2.本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是相互垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直，还能应用皮克定理求出格点多边形的面积吗？,课后活动,
