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1、1,2.8 连续函数的运算与 初等函数的连续性,连续函数的四则运算的连续性,连续函数的反函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第2章 极限与连续,连续函数的复合函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理1,例如,二、反函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,不加证明的指出指数函数,单调且连续;,所以它的反函数对数函数,单调且连续;,5,定理3,设函数y=f g(x)是由函数y=f(u)与,函数u=g(x)复合而成,则复合函数y=f g(x)在x=x0连续.,证,三、连续函数的复合函数的连续性,若函数u=g(x),在x
2、=x0连续,且 g(x0)=u0,而函数y=f(u)在u=u0,连续,有可能g(x)=u0,但此时,f g(x)=f(u0)=f g(x0)并不影响上述极限过程.,6,例,解,由,所以,满足定理3的条件有:,上述定理对计算某些极限很方便.,意义,可交换次序;,2.变量代换,的理论依据.,1.在定理的条件下,7,例,解,这里,不连续,但,所以,8,例,解,同理可得,四、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义
3、区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例,例,解,解,13,练习,解,考研数学三,填空题,3分,14,练习,考研数学(三,四),选择题(4分),则,(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.,(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.,(C)x=0必是g(x)的连续点.,(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.,注:,例如,解,16,五、小结,连续函数的四则运算的连续性;,连续函数的复合函数的连续性;,初等函数的连续性:,求极限的又一种方法.,连续函数的反函数的连续性;,定义区间与定
4、义域的区别;,17,解答,思考题1,如果函数 f(x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么,f(x)+g(x)在该点是否连续?,连续,(1)若两个函数 中只有一个在点x0不连续,则f(x)+g(x)在点x0必不连续.,用反证法证之:,不妨设在点x0,并假设,f(x)+g(x)在点x0连续,则由连续函数的运算性,质有:,在点x0连续,与已知矛盾.,故 f(x)+g(x)在点x0不连续.,f(x)连续,g(x)不连续;,18,解答,思考题1,如果函数 f(x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,(2)若f(x)、g(x)在点x0均不连续,则,在f(x)+g(x)在点x0可能连续,那么,f(x)+g(x)在该点是否连续?,也可能不连续.,如:,在 x=0处均不连续,在 x=0处,连续.,在 x=0处均不连续,在 x=0处亦不连续.,19,思考题2(是非题),处有定义,则,非,故,但,20,思考题2(是非题),处有定义,则,所以,不存在.,故,正确的说法是:,在点x0连续,则,作业,习题2.8(52页),1.3(2)(3)(6)(9)(11)(13)(16).,
