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1、第三节等比数列,1等比数列,2等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q,若mnpq2k,则aman_a.(2)通项公式的推广:anam _(m,nN*)(3)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为_;当公比为1时,Sn,S2nSn,S3nS2n不一定构成等比数列,apaq,qnm,qn,1b2ac是a,b,c成等比数列的什么条件?【提示】必要而不充分条件当a0,b0,c1时,满足b2ac,但a,b,c不是等比数列;当a,b,c成等比数列时,必有b2ac.,【答案】A,2(2012安徽高考)公比为2的等比数列an的各项都是正数,且
2、a3a1116,则log2a10()A4 B5 C6 D7【解析】由题意aa3a1116,且a70,a74,a10a7q342325,从而log2a105.【答案】B,4(2012江西高考)等比数列an的前n项和为Sn,公比不为1.若a11,则对任意的nN*,都有an2an12an0,则S5_【答案】11,【思路点拨】建立关于a1与公比q的方程,求出基本量a1和公比,代入等比数列的通项公式与求和公式,1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论
3、,此外在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算,【思路点拨】正确设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差d,从而求出数列bn的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第(2)问,【尝试解答】(1)S3,S6S3,S9S6成等比数列,S3(S9S6)(S6S3)2,又S340,S6402060,40(S960)202,故S970.,1本题充分利用已知条件,数列的性质,简化了运算2等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,【答案】(1)D(2)C,已知数列an中,a11,a
4、22,且an1(1q)anqan1(n2,q0)(1)设bnan1an(nN*),证明:bn 是等比数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的nN*,an是an3与an6的等差中项【证明】(1)由题设an1(1q)anqan1(n2),得an1anq(anan1),即bnqbn1,n2.由b1a2a11,q0,,利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式1.由an1qan(q0),并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.2运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q1与q1分类讨论,防止忽略q1这一特殊情形,等比数列是每年高考的热点内容,
5、主要考查等比数列的通项公式,前n项和公式及等比数列的性质,各种题型均有可能出现注重等比数列与相关知识综合交汇,或“非标准”的等比数列是命题新的生长点,创新探究之七等比数列与三角函数的交汇创新,创新点拨:(1)等比数列和三角函数相结合,考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力(2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大,放在一起考查,对学生灵活处理问题的能力有较高要求应对措施:(1)采取先局部,后整体的策略,即先单独考虑等比数列和三角函数,再从整体上考虑两部分知识之间的联系(2)对两部分知识的结合点,要从其如何产生和有何作用两个方面考虑,【答案】C,2(2012陕西高考)设an是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列(1)求数列an的公比;(2)对任意kN*,证明Sk2,Sk,Sk1成等差数列【解】(1)设数列an的公比为q(q0,q1),由a5,a3,a4成等差数列,得2a3a5a4,即2a1q2a1q4a1q3.由a10,q0得q2q20,解得q12,q21(舍去),,所以q2.(2)证明对任意kN*,由(1)知,Sk2Skak1ak2Skak12ak1Skak1,且Sk1Skak1,Sk2Sk12Sk,从而对任意kN*,Sk2,Sk,Sk1成等差数列,课后作业(三十三),