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1、3 欧拉积分,含参量积分：,称为格马(Gamma)函数（写作函数）.,它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，,称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.,下面分别讨论这两个函数的性质.,函数函数函数与函数之间的关系,1.积分区间为无穷;,一、函数,特点:,函数,2.当 s-1 0 时，x=0 为瑕点;,写函数为如下两个积分之和：,其中,当 s 1 时，为正常积分，当 0 s 1时收敛.,对任何实数 s，都是收敛的，特别当 s 0 时收敛.,所以函数,在 s 0 时收敛.,即函数的定义域为 s 0,1.函数在定义域 s 0 内连续且可导,2.递推公式,3.函数图象的讨论,函数的性质,4.延拓,5.
2、,的其他形式,令 x=y2,有,令 x=py,就有,三、函数,1.定义,下面证明这个特殊函数在,内收敛.,令,综上所述,2.性质,(1)递推公式,证:,(分部积分),注意到:,(2),证:,(3)余元公式:,(证明略),(4),得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用 函数来计算.,例如,二、函数,当 p 1 时，I(p,q)为正常积分，当 0 p 1时收敛.,当 q 1 时，J(p,q)为正常积分，当 0 q 1时收敛.,所以，当 p 0,q 0 时,B(p,q)收敛.,即B(p,q)函数的定义域为 p 0,q 0,1.B(p,q)在定义域 p 0,q 0 内连续,2.对称性：B(p,q)=B(q,p),3.递推公式,B(p,q)函数的性质,4.B(p,q)的其他形式,令,则有,令,则有,令,则有,三、函数与函数之间的关系,例,计算,解,例,计算,解,
