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1、第二节 直接证明与间接证明,基础梳理,1.直接证明(1)定义:直接从原命题的条件 推得命题成立的证明方法.(2)一般形式:(3)综合法定义:从 出发,以已知的、为依据,逐,本题结论.,逐步,本题条件,已知定义,已知公理,已知定理,已知条件,定义,公理,定理,步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法.推证过程.(4)分析法定义:从问题的 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法.推证过程,已知条件,结论,结论,已知条件,2.间接证明(1)常用的间接证明方法有、等.(2)反证法的基本步骤,结论,上溯,反证法,同一法
2、,枚举法,假设命题的 不成立,即假定原结论的反面为真;从反设和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;由矛盾结果,断定 不真,从而肯定原结论成立.,典例分析,题型一 综合法的应用【例1】已知ab0，求证：.,证明 ab0,b,即2b,进而-2b,a-+ba+b-2b,即0()2a-b,分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.,反设,结论,归谬,已知条件,存真,反设,学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件
3、所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.,证明：a+b=1,当且仅当a=b=时“=”成立.,举一反三,1.设a0,b0,a+b=1,求证：.,题型二 分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I24S.,分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.,证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I24S,只需证a2+b2+c2+2S4S,即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+
4、c2-2ab-2bc-2ca0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I24S.,学后反思(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.,2.若sin+cos=1,求证：sin6+cos6=1.,举一反三,证明：由sin+cos=1 sin2+cos2+2sin cos=1 sin cos=0.欲证sin
5、6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1,即证sin4+cos4-sin2cos2=1,即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0.由式知,上式成立，故原式成立.,题型三 反证法的应用【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证：a,b,c中至少有一个大于0.,分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.,证明 假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,.2则a+b+c0,.4而a+b+
6、c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3.6-30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,.8a+b+c0,10这与a+b+c0矛盾.12因此a,b,c中至少有一个大于0.14,学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.,举一反三3.已知a,b,c是一组勾股数，且.求证：a,b,c不可能都是奇数.,证明：假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,又a,b,c都是奇数,也都是
7、奇数,是偶数，,与已知 相矛盾,a,b,c不可能都是奇数.,易错警示,【例】设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立.求证:对定义域内任意x都有f(x)0.,错解分析 反证法的关键是从假设出发,经过推理论证得出和已知、定义、定理、公理等相矛盾.错解中从这点上出现了错误.,错解 假设f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y),与假设f(x)0矛盾.结论成立.,正解 又f(x)0,f(x)0.对定义域内任意x都有f(x)0.,考点演练,10.函数y=(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.,解析:A(-2,-1),A在直线mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1.mn0,m0,n0,当且仅当,即当m=,n=时等号成立,故 的最小值为8.,11.已知a,b,c是不等正数，且abc=1.求证：,证明：a,b,c是不等正数，且abc=1,证明：由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,则.又由正弦定理,得,12.在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证：.,
