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1、,一、罗尔(Rolle)定理,例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,对函数,罗尔定理的正确性.,验证,解,且,导,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,不求导数，,的导数有几个零点及这些零点所在的范围.,解,因为,从而，,使,使,判断函数,最多只能有两个零点，,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,解,验证函数,格朗日中值定理,故满足拉格朗日中值定理的条件.,则,
2、即,故,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,例2,证,例3,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,解,验证柯西中值定理对函数,函数,连续,且,由于,令,得,取,成立.,这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间,上的正确性.,则等式,例4,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,练 习 题,练习题答案,
