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1、三角晶微y=ASin(m+)的画像变换蠢大脑体操电作业完成情凉)山教学目标)、1结合具体实例，瓒举y三Asin(勿+9)的郑J逾义会用“五髓”画出襦iy=Asin(g+。)的？胭。会用Il算机画图，赚并倒渗数A,MWi角A,对醴图象2能由国型!线觎平移、伸雌换得到用in(x+的性像3教为装中体现简单至愎杂、椒卷InmoI徽学思赳毒趣味引入)坛知识梳理)1、函数图象的左右平移变换TTTT如在同一坐标系下，作出函数y=sin(x+1)和y=sin(xa)的简图，并指出它们与=snx图象之间的关系。TT解析：函数y=sin*+W)的周期为24，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。7tK
2、设x+5=Z,那么Sin(X+)=SinZ,x=Z-275当Z取0、X,右二,2乃时，X取36363。所对应的五点是函数2 2TTTTSte3 y=sin(x+-),x,图象上起关键作用的点。4 1.33_列表:X562Tl65TX+3023224ZK、sn(x+-)010-107T类似地，对于函数y=sin（x-可列出下表:xR及X43兀T5TlT9714X402322.，兀、Sm(X-)010-103个单位而得到的，y=sin（x-工）的图象可以看作是把V=Sinx的图象上所有的点向右平行移动4了个单位得到的。注意：一般地，函数y=sin（x+e）（eWo）的图象，可以看作是把y=sinx
3、的图象上所有的点向左（当e时）或向右（当时）平行移动倒个单位而得到的。推广到一般有：将函数）=/*）的图象沿X轴方向平移个单位后得到函数y=（x+）30）的图象。当a0时向左平移，当a且GWI）的图象，可以看作是把y=Sinx的图象上所有1点的横坐标缩短（当Gl时）或伸长（当。口Vl时）到原来的0倍（纵坐标不变）而得到的。推广到一般有：函数y=（0）（GO,0Wi）的图象，可以看作是把函数y=/（X）的图象上的点的横坐标J_缩短（当。1）或伸长（当OVGVl）到原来的G倍（纵坐标不变）而得到。3、函数图象的纵向伸缩变换1如在同一坐标系中作出y=2sinx及y=sinx的简图，并指出它们的图象与
4、，=sin1的关系。解析：函数y=2sinx及y=gsin戈的周期丁二2%，我们先来作X2加时函数的简图。列表：X02322%sinx010-102sinx020-201.sinx2022020描点作图，如图：利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到y=2sinx,xR及1 .dy=sinx,XeR2 的简图（图略）。从上图可以看出，对于同一个X值，y=2sinx的图象上点的纵坐标等于y=sinx的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而）=2sinx,XeR的值域为-2,2,最大值为2,最小值为一2。1 1类似地，y=上SinX的图象，可以看作是把y=smx的图象上所
5、有点的纵坐标缩短到原来的上2 2倍（横坐标不变）而得到的，从而y=!sinx,xR的值域是最大值为,，最小值22221为一5。注意：对于函数y=Asinx（Ao且AHI）的图象，可以看作是把y=Sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当Al时）或缩短（当0Ao且AWl）的图象，可以看作是把函数y=/（X）图象上的点的纵坐标伸长（当Al）或缩短（当0A0)或向右(9 y = sin(r + )y= ASin(公 + )横坐标变为原来的J倍纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍横坐标不变法二：先伸缩后平移y = sinxy = sin Ctir横坐标变为原来的J倍坦纵坐标不变.向阳纥。那向.右(汽鱼)=si。
6、.+平移l个单位纵*黑黑的A倍yiM+),.四可以看出，前者平移m个单位，后者平移G个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量X而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。当函数y=Asin(s+e)(Ao,0t+8)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间-21T=J=口，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数T24，它叫做振动的频率；5+9叫做相位，。叫做初相(即当x=0时的相位)。典例讲练71.y=sin(2x+)例1.用两种方法将函数V=Sinx的图象变换为函数3的图
7、象。71兀x-2x2(x+)=2x+-分析1：63横坐标缩短到原来的;y=sinx=解法1；纵坐标不变向左平移菅个单位y=sin2x471y=sin2(x+)=sin(2x+)63Axx+2x+-分析2,向左平移个单位解法2,=Sinx2横坐标缩短到原来的;y=Sin(X+)273纵坐标不变y=sm(2x+)点评：在解法i中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即不和),但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。练习:要得到y=sm(2xg)的图象，只要将y=sm2xfr5困泉解一：由于y=sm(2x令=矶4/令)，所要得到T=
8、Sm(女/的图应选D解二；y=sm2量西点(0,0),y=乳n(2x1)则经过点6,0)这是与36X轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与X轴交点中最,只要将y=以立制图象向右平移7个单位，就可得到y=三n(2x-63的图象.选D例2.用五点法作出函数y=2sin(2x+q)的图象，并指出函数的单调区间。分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。解析：(1)列表TTrTT列表时2X+：取值为0、)、号、2乃，再求出相应的X值和y值。(2)描点X6n3l12562x+-302322020-20(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:利用这类函数的周期性，我们可以把上面所
9、得到的简图向左、右扩展，得到y=2sin(2x+?),xR的简图(图略)。TT1TT可见在一个周期内，函数在一,上递减，又因函数的周期为4，所以函数的递减区间1212为k+-,k+-,(ZZ)同理，增区间为k-,k+,(RZ)_1212JL1212_点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的皈+取0、J冗乜、222万，然后求出相应的X,y值。例3.如图是函数y=4sin(3+0)的图象，确定a、。、W的值。解析：显然A=2T=-7-(-)=66242_.,.=2T:,y=2sin(2x+0)X=解法1：由图知当6时，y=02x+=2()+0=0:.=-故有6%,33y=2si
10、n(2x+)二所求函数解析式为.3解法2：由图象可知将y=2sin2/的图象向左移不y = 2sin2(x)即得6 ,即71y 2sm(2x + y)-3点评：求函数V=Asin(m+e)的解析式难点在于确定初相。，一般可利用图象变换例:4.试述如何由尸Lsin(2+-)的图象得到尸SirLY的图象。33解析：Z=sin(2广鼻)横坐标扩大为原来的2倍)Jsin(xI)纵坐标不变3,5图象向右平移个单位1y=sinX纵坐标不变3纵坐标犷大到原来的3倍一7bill横坐标不变另法答案：(1)先将片Jsin(2户上)的图象向右平移2个单位，得片JSin2的图象；3363(2)再将片JSin2上各点的
11、横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得片LSin*的图象；33(3)再将y=-sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到尸SinX3的图象。例5：函数f(x)=Asin(+)的图象如图2-15,试依图指出(l)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=O的X的取值集合；(3)使f(x)V0的X的取值集合;(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的X的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心.解析：这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(+)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出
12、.注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中.(2)在一个周期内卜(J中，使f()=O的X为=q或X=加故所求的曲集合为xx=3+Jkr,kZ)(xx=3k.kZ)(3)便f(x)O的X的集合为x兀+3kx有禊个，它们抽标为(，+与，(J)9kz.注：f(x)的图象的对称中心为(xo, 0),其中Xo使f (Xo)=O【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思:周期性在研究中的化简作用，三角函数的“多对一”性.练习：I. (13分)己知函数0, m0, |同当 图象如图所示.(1)
13、求函数Kr)的解析式；(2)如何由函数,y=2sin X的图象通过适当的变换得到函数 象，试写出变换过程.AO的图的部分解(1)由图象知A=2./(x)的最小正周期T=4X倍一看)=,故c=竿=2.将点备2)代入用的解析式，得Sin俘+0=L-7 I I兀 兀又 1研方法二横坐标缩短为原来然.( i纵坐标不变, y=2sm(2x+J横坐标缩短为原来的I y=2sin X纵坐标不变1y=2sin 2x2. (14 分)已知函数/W=ASin(S+e) (A0, 0, y=2si心+制的一段图象如图所示.求函数y=(x)的解析式;3.（14分）函数y=Asin（CyX+9）（A0,c0,9(2)将
14、函数y=y(x)的图象向右平移;个单位，得到y=g(x)的图象，求直线y=%与函数y=y(x)g(x)的图象在(0,兀)内所有交点的坐标.解(1)由题图知A=2,T=,于是=竿=2将y=2sin2x的图象向左平移各个单位长度,得y=2sin（2x+9）的图象.于是3=2X自=，7/（x）=2sin（2t+）(2)依题意得g(x)=2si42(x看)+看=2cos2xj.故），=y（x）+ga）=2sin（2x+-2cos（2x+）=22sin2-0.由25sin（2-）=,得sin（2%-g）=坐*.*0v,2-O,口0）的最大值为3,最小正周期是与，初相是方，则这个函数的解析式为JT答案y=
15、3sin(7x+N解析1由题意，知A=3,=7,0=专，T.y=3sin(7x+寿.6 .函数段)=3Sin(ZLg的图象为C,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).图象C关于直线X=号对称；图象C关于点侍0)对称；函数AX)在区间(一生相)内是增函数；由y=3sin2x的图象向右平移方个单位长度可以得到图象C答案解析4号)=3Sin竽=3,正确；引=3sin=0,正确；%)的增区间为“九一歪，&+得伏Z),令女=0得增区间一盍，制，正确；由y=3sin2x的图象向右平移5个单位长度可以得到图象C错误.三、解答题7 .已知函数y=Asin(0,0,|创令的图象的一个最高点为(2,2啦)
16、，由这个最高点到相邻最低点，图象与X轴交于点(6,0),试求这个函数的解析式.解析已知函数最高点为(2,22),A=22.又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与X轴相交于点(6,0),而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为上个周期长度，.(=62=4,即T=16.2兀.G=zg,.*.y=2,2sinv).将点(6,0)的坐标代入，有2a守义6+0)=0,.,.sin(+s)=O,又.9与O=/二函数的解析式为y=22sin(x+j).8.已知函数/)=2sin(2x+6+l(其中。为常数).(1)求Kr)的单调区间；若x0,多时，y的最大值为4,求的值；(3)求出使yu)取最大值时X的取值集
17、合.解析由一宗+2EW2x+2W+2A(左Z),解得一E(AeZ).函数段)的单调增区间为L歼E,+WZ).TrTr3TT由1+2EW2x+dW+2E,kerL,解得彦+EWxW号+A,Z.函数於)的单调减区间为G+E,y+k(k三Z).(2)V0x,2x+y,12sin(2x)1,.(x)的最大值为2+l=4,.*.=1.当Kt)取最大值时，2x+A+2E,k三Z,.2x=1+2k,ZZx=,kZ.，当外)取最大值时,X的取值集合是小弋+E,kZ.9. (2014.北京文，16涵数危)=3sin(2+奇的部分图象如图所示.(2)求段)在区间一争一月上的最大值和最小值.解析I(I)KX)的最小
18、正周期为:=兀V（xo.IyO）是最大值点，令2x+*=5+2历t,2Z,结合图象得Xo=誓，o=3.（2）因为x-骨,所以2x+一第,0.于是，当2x+点=0,即X=一盍时，府）取得最大值0;当2彳+一看即X=一翔，取得最小值一3.当堂总结）f家庭作业）基础巩固一、选择题1 .函数y=cosx的周期为（）A.2B.，兀C兀C-2d4【答案IB解析作出函数y=cosx的简图，由图象可知，函数y=cosx的周期为.2 .（2014浙江临海市杜桥中学高一月考）要得到函数g）=cosx的图象，只需将於）=cos（x：）的图象（）A.向右平移w个单位长度B.向左平移W个单位长度C.向右平移彳个单位长度
19、D.向左平移彳个单位长度答案ID解析将危）=cos（x力的图象向左平移彳个单位长度得到g（x）=cos（x+：）一?=COSM故选3 .（2014山东济南一中高一月考）函数y=cos2x的图象（）A.关于直线4=一彳对称B.关于直线l=一方对称C.关于直线X=?对称D.关于直线X=乎对称答案B解析I令2x=E（&Z）,则X=弟2Z.当A=-I时，x=,故选B.4 .已知函数）=近cos（s+9）（89在一个周期内如图所示.设其周期为T,则有（）AT6兀AT=K3兀s=2B.=2,C.T=3兀，LZD.T=3,S=Z【答案IAT解析f=334201220365,7一5,5 .要得到函数y=cos
20、（2x+l）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移/个单位D.向右平移羡个单位答案C解析I本题考查三角函数（余弦型函数）图象的平移问题.Vy=cos（2xl）=cos2（x）,所以只须将y=cos2x图象向左平移T个单位即可得到y=cos（2x1）的图象.注意图象平移是对上”而言的.6.设段）是定义域为R,最小正周期为学的函数，若危）=COSJx0tsinx(Or)值等于（）A.1B.4C.OD.一坐【答案】BI解析】一r)=娉X(-3)+竽)_3-.3-2二人7J=Sirq=2-二、填空题7.函数y=)黑的定义域为答案(一方+2也，f+
21、2E(%Z)1+sinxO=sinx1解析由已知得，八，ICoSX三0结合正、余弦函数图象可知，21)eZ解析令2x/W+E(2Z),则X=三+祭ZZ.故函数(x)=cos(2-+1的对称中心坐标为号+当，l)2Z.三、解答题319.己知函数y=a-Z?CoSX的最大值是最小值是一5,求函数y=-4bsinr的最大值、最小值及最小正周期.解析1WCOSXW1,由题意知6W0.当b0时，bWbcosxWb,最大值为4,最小值为一4,最小正周期为4兀.当bcosx/?.+b-bcosxWa-b.：, y= - 4bs inax= 4sin%,最大值为 4,最小值为一4,最小正周期为4n.能力提升一
22、、选择题1.函数y=lncosx（一枭若）的图象是（）答案A解析I由y=lncosM一扛v知y=lncos是偶函数，取X=W得丁=舄0,故选A.2.已知函数y=4sin（s+3）+6的图象如图所示，则常数A、力的取值是（）A.A=6,0=/,夕=，6=-2B.A=4,co=/,9=，O=-2C.A=4,=2,3=力，b=2D.A=4,=/，夕=$6=2答案D解析Y最大值与最小值的差=6（-2）=8,.4=4.又二周期r=竽(一号)=4兀,.,=季=亲=/且A=I=2,y=4sinQx+Tr由题意知A、B、C、D四个选项中夕都等于?故选D.3.已知兀0是定义在(一3,3)上的奇函数，当0x3时,
23、Ar)的图象如图所示,那么不等式兀OCoSX0的解集为()yz.O23XA.(-3,-U(O,1)U3)B.(-全-I)U(0,1)U你3)C.(一3,-)u(0,l)U(l,3)D.(-3,-I)U(0,1)U(1,3)答案B解析JaAO的解集为(-1,0)U(1,3),於)0的解集为(一去。COsXVo的解集为(一,音)U卷兀)，故y(x)cosxax=2;当尸患时，ymi11=-2,那么函数的解析式为.答案y=2sin(2x+2)解析2Y2Y22,T=兀，to=2,又A=2,.y=2sin(2x+3)过点，有2),sin(=l,.*.=3+2k(kZ).三、解答题7.求函数y=2cos哈
24、一叔)的单调区间、最大值及取得最大值时X的集合.解析y=2cos(-4x)=2cos(4-.令一+2kW4一2A,&Z,O/日5IA)一I女兀f_得一五+5WXWm+爹，&WZ.令2EW4-W2E+,Ar三Z,O得与+芸当+养Z.,该函数的单调增区间是俘一驾，亨+勿伏WZ),单调减区间是借+亦y+(Z).当COS(4l寿=1时，Jmax=2.此时4x一点=2攵兀，女Z,”=冬+/，ZcZ.即函数取得最大值时X的集合是小=与+亦kZ,且最大值为2.8 .判断下列函数的奇偶性，并求它们的最小正周期.(I)y=3cos2x;(2)y=cos(x+y).解析I令/(x)=3cos2x,：KX)=3cos(2X)=3cos2x=y(x),，函数Ar)为偶函数.最小正周期T=.(2)令fix)=cos(x+y)=Sin%.3n4-x3)3甲最小周期T=y=y.49 .设函数兀r)=sin31W),g(x)=Z?cos(2日一b0,QO),若它们的最小正周期之和为:，且启)=g(J),周=一小gf求这两个函数的解析式.【解析I函数危)的周期八=普，函数g(x)的周期乃喷由已知Ti+=竽，.号+号，=2.又痣)=g则有又U=一小&0一1，则有“si若=-y3bco-1.由解得a=b=.所以Ar)=sinQ-，)g(x)=cos(4x-9课程颁诃签李:教学主管签李:
