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1、,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第三章 复变函数的积分,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第一节 复积分的概念及其简单性质,1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题3、基本性质,一、复变函数积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C(周线)的正向是指当曲线上的点P顺此方向前
2、进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,2.定义3.1,设有向曲线C,把曲线C分成若干弧段,作和式,关于定义的说明:,3.定理3.1,证明,正方向为参数增加的方向,根据线积分的存在定理,所以,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是,公式,即复函数积分可表为两个实积分.,二.复变函数积分的计算问题,设有向曲线C,或,证明,注,用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,
3、称为参数方程法.,例1,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,三、复变函数积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,(6)积分估值,定理3.2,证明,两端取极限得,证毕,证明,而C之长为2,根据估值不等式知,例2,例3,证明,例4,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,(2)积分路径的参数方程为,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,积分路径不同,积分结果也可能不同.,例5,解,积分路径的参数方程为,四、小结与思考,本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.,作业,P141 习题(一)P142 1,2,3(1),本节结束,谢谢！,
