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1、,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,1. 有理函数的分解,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,其中 都是常数,注:,关于部分分式分解,例如,但若,矛盾,特殊地：,分解后为,其中 都是常数,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(2)
2、用赋值法,故,(3) 比较系数法,原式 =,2. 有理函数的积分,变分子为,再分项积分,四种典型部分分式的积分:,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,递推公式,注意,以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法.,基本思路,尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等,化部分分式，写成分项积分,可考虑引入变量代换,例2. 求积分,解：,例3. 求,解: 已知,例4. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,变形方法同例4,例5. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行
3、积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例6. 求,解: 原式,例7. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,令,（万能置换公式）,例8. 求,解: 令,则,例9. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,例
4、10. 求积分,解法 1：,解法 2：,令,解法 3：,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,如,若用万能代换，则,化部分分式比较困难,但若是凑微分，则比较简单,基本思路,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例13. 求,解: 令,则,原式,例14. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例15. 求,解: 令,则,原式,例16. 求积分,解：,先对分母进行有理化,原式,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,
