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1、,第四节,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,四种典型部分分式
2、的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,例2.求,解:已知,例1(3)目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:原式,思考:如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用 P209 例9.,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:原式,(见P348公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令
3、,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.三角函数有理式的积分,则,例7.求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解法 1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解
4、法 2,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求,解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例11.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.可积函数的特殊类型
5、,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,21,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,求不定积分,解：,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高,宜使用倒代换.,2.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
