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1、,第四节,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,1.有理函数的分解,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,其中 都是常数,注:,关于部分分式分解,例如,但若,矛盾,特殊地：,分解后为,其中 都是常数,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,(2)用赋值法,故,(3)比较系
2、数法,原式=,2.有理函数的积分,变分子为,再分项积分,四种典型部分分式的积分:,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,递推公式,注意,以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法.,基本思路,尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等,化部分分式，写成分项积分,可考虑引入变量代换,例2.求积分,解：,例3.求,解:已知,例4.求,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例4,例5.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的
3、结构寻求,简便的方法.,例6.求,解:原式,例7.求,解:原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,令,（万能置换公式）,例8.求,解:令,则,例9.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,例10.求积分,解法 1：,解法 2：,令,解法 3：,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换
4、不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,如,若用万能代换，则,化部分分式比较困难,但若是凑微分，则比较简单,基本思路,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例13.求,解:令,则,原式,例14.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,例15.求,解:令,则,原式,例16.求积分,解：,先对分母进行有理化,原式,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,
