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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十二讲 一元微积分的应用(二),函数(曲线)的凹凸性、拐点、函数图形的描绘,第四章 导数的应用,本章学习要求：熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性、极值等来讨论函数的图形性质，并熟练掌握函数作图过程。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。,一、曲线的凹凸性、拐点,
2、二、曲线的渐近线,三、函数图形的描绘,第四章 中值定理与导数的应用,第六节 曲线的凹凸性、拐点第七节 函数图形的描绘,我们说一个函数单调增加,你能画出函数,所对应的曲线的图形吗?,.,.,一、曲线的凹凸性、拐点,它的图形的形式不尽相同.,一般说来,对于一个区间上单调的函数的,图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线,（或切线）的“上方”或“下方”的问题.,简单地说,在区间 I 上:,曲线弧段位于相应的弦线上方(在切线的“下方”)时,称之为凸的（下凹）;,曲线弧段位于相应的弦线下方(切线“上方”)时,称之为凹的（上凹）.,定义,1.曲线凹凸性的定义及其判别法,有何体会？,定理,该函数的图形 请自
3、己绘出.,解,解,为判断y的正负,先计算y=0,得 x=0 或 x=1,比较例3 和例4,发现使得曲线所对,的分界点.,我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性,应的函数的二阶导数等于零的点引起了,连续曲线上凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点.,2.曲线拐点的定义及判别法,定理,(判别拐点的必要条件),定理,(判别拐点的充分条件),根据拐点的定义立即可证明该定理.,求拐点一般步骤,拐点,拐点,解,解,你清楚它们之间的联系吗?,画画图就能搞清楚.,中学就会求了.,若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无,限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离,趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x
4、)的一条,渐近线.,二、曲线的渐近线,定义,水平渐近线,垂直渐近线,想想：怎么求 a,b?,斜渐近线,解,解,曲线无水平渐近线,(函数间断),曲线有斜渐近线吗？,解,现在给定一个函数,我们可以讨论它的：,定义域、值 域、奇偶性、有界性、,周期性、连续性、间断点、可微性、,单调性、极 值、最 值、凹凸性、,拐 点、渐近线、零点位置.,用极限讨论函数的变化趋势.,用泰勒公式将函数离散化.,作函数图形的一般步骤如下：,(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.,(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点.,(4)求曲线的渐近线.,(5)作出函数的图形.,三、函数图形的描绘,确定极值可疑点和拐点可疑点.,解,极大,拐点,曲线无水平渐近线.,
