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1、则称 为 的子空间.,简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的 的非空子集.,加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间.,4.4 子空间,例4.4.1 若 则 是 的子空间.,对任意 有,由定义，H是 的子空间。,定理4.4.1 若,是 的子空间.,一般地，我们有,命题：等价向量组生成相同的子空间.,例4.4.2 过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间.,例4.4.3 在（欧式）空间中，设,XY平面,XZ平面,YZ平面,一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述.,两个特殊的子空间：,例：判别下列集合是否为向量空间.,解：,所以，是向量空间。,(2)不是向量空间。,下面引
2、入两个与矩阵A有关的重要的子空间.,定义4.4.2 设A是mn矩阵，A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合.,易知,因此，ColA也称为A的值域空间Range(A).,定理4.4.2 mn矩阵A的列空间ColA是 的子空间.,记 则,例,因此，方程组 相容，b在ColA中.,判断b是否在ColA中.,解：b在ColA中当且仅当方程组 有解.,定义4.4.3 设A是mn矩阵，A的零空间NulA是齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成的集合.即,定理4.4.3 矩阵A的零空间NulA是 的子空间.等价地，m个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解集是 的子空间，称为Ax=0的解空间.,证明：显然，0在NulA中.,所以NulA是 的子空间.,任意实数k，,任取NulA中两个向量,例4.4.5 求NulA的一个生成集.,解：首先，利用初等变换可化A为行最简形,取 为自由变量，则解为：,然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合（解的参数形式）：,则 是NulA的生成集.,
