《无穷大与无穷小.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷大与无穷小.ppt（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、三、无穷大,四、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,1.6 无穷小与无穷大,二、无穷小的运算性质,一、无穷小,定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小.,当,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,注意:,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的常数.,3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然 C 只能是 0!,C,C,其中 为,时的无穷小量.,定理 1(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束,二、无穷小的运算性质,定理2,有限个无穷小之和还是无穷小.,定理3,有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.,推论1,常数与无穷小的乘积还是无穷小.,推论2,有限个无穷小的乘积还是无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,有,定理2 有限个无穷小之和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,
3、有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例题1 求,解:,利用定理 3 可知,说明:y=0 是,的渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.证明,证:任给正数 M,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理4.在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,Th1,4.无穷小与无穷大的关系,Th4,作业P46 6,3.无穷小的运算性质,Th2,Th3,
