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1、第七节 无穷小的比较,无穷小的比较等价无穷小的替换,1/13,一、无穷小的比较,无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：,出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.,例如,不可比.,观察各极限,2/13,定义:,注 若 C，则 C.,3/13,例1,例,解,4/13,常用等价无穷小:,5/13,例3,证,证毕,6/13,证,证毕,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,7/13,例4,解,8/13,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,证毕,注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。,9/13,例5
2、,解,例6,解,10/13,例7,解,解,错,注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.,11/13,注 对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。,12/13,三、小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度相对的快慢。但并不是所有的无穷小都可进行比较。,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低、同)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,13/13,作 业,习题1-2 剩余的全部,证：,所以,阶段复习,一、填空题:,练 习 题,-5,3,2,1/5,0,0,二、求下列各极限:,1/2,=2,=2x,=-1,=-2,=1/2,=0,例 求极限,17/17,解,一、填空题:,练 习 题,1,1/3,0,e,2/3,二、求下列各极限:,=2,5、,=3,5、,证,由 xn0 A0,练 习 题,练习题答案,
