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1、1.7 无穷小的比较,一、无穷小的比较,二、等价无穷小的应用,观察与比较,观察两个无穷小比值的极限,两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿,例如:,定义:,阶的比较举例,所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0),所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小,例2,例3,例1,所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0),例4,阶的比较举例,又如,常用等价无穷小:,以上等价无穷小的关系同学们必须孰记，以备
2、应用。,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,必要性:,证明,所以b a=o(a),因为,设ab,只需证b a=o(a),充分性:,设b=a+o(a)则,因此ab,所以当x0时 有,sin x=x+o(x),tan x=xo(x),例5,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,关于等价无穷小的定理,定理2(等价无穷小的替换定理),证明:,定理2(等价无穷小的替换定理),求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 因此,需要记住一些等价无穷小.,定理2的意义:,关于等价无穷小的定理,设对同一变化过程,为无穷小,无穷小的性质,(1)和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若=o(),(2)和差代替规则:,例如,例如,注意,(3)因式代替规则:,界,则,例如,例.求,解:,原式,常用等价无穷小,例7.求,解:,练习,解,小结,1、能用定义判断高阶无穷小。,2、求无穷小之比的极限时，分子、分母可适当选用等价无穷小来代替，使极限计算简便。,练习,练习1,练习2,解,C,常用等价无穷小,当x 0时,下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小()（A）；（B）；（C）；（D）.,
