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1、1,第五节 极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则；单调有界准则,2,1.夹逼准则,准则：,准则：单调有界数列必有极限.,2.单调有界准则,一、极限存在准则,3,例1,解,由两边夹法则得,4,证明略,准则 单调有界数列必有极限.,2、单调有界准则,5,证,(舍去),6,二、两个重要极限,设单位圆O，,圆心角,作单位圆的切线,7,注意：,（令）,2)作用：,8,解：,解：,1.,=1,例1.,求,例2.,例3.,解：,9,例4.,解：,思考：,10,我们从三方面来认识这个极限：,2),第二项与指数互为倒数.,极限形式是,3)不管自变量如何变，满足前两个条件，极限
2、值,=e,(e=,括号内第一项是1，,中间是“+”号，,证明略,如:,1),11,例5.,解:,12,补例.,解:,解:,13,解,例8计算,14,解,例10,15,思考与练习,16,两个重要极限:,17,第一章,都是无穷小,第六节,引例.,但,无穷小的比较,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同，两个无穷小商的极限用来比较两个穷小无趋向于零的速度“快慢”,18,1.定义:,注：,判断无穷小的阶,实际上就是求两个无穷小商的极限.,19,注意：,1.无穷小的比较是无穷小与无穷小比较的；,2.零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的;,3.无穷小的阶的高低是相
3、对的;并依赖于极限过程的;,4.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法；,5.有两个重要的符号,例如,20,证:,例1.,则,21,证:,即有等价关系:,1)上述证明过程也给出了关系:,例2.证明:,2)常用等价无穷小:,说明:,把所有 换成 也成立,22,证:,必要性,充分性,意义:由等价无穷小可给出函数的近似表达式,2.等价无穷小的性质,23,例如,（自反性）,（对称性）,（传递性）,24,定理2(等价无穷小代换定理),证：,说明：,即定理条件满足时,可以只代换无穷小的分子或分母.,即定理条件满足时,可以代换积中因式的无穷小.,25,3.无穷小的商或乘积的极限可分别用无穷小代替，对于代数和中
4、各无穷小不能分别等价代换.,这是求极限的又一种好方法,注意适用条件.,例3.求,解:,26,只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换,对于,代数和中各无穷小不能分别等价代换.,切记:,补例4.,解:,错,解:,27,内容小结,1.两个重要极限：,2.无穷小的比较：,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,28,3.等价无穷小代换定理：,5.常用的等价无穷小：,4.注意事项：,1)并不是所有的无穷小都可进行比较.,不可比.,2)只可对函数的乘积因子或商作等价无穷小代换,对于代数和,中各无穷小不能随意等价代换.,29,最记得注意的是：当,时,30,新增求极限的方法：,8.重要极限法,9.等价无穷小代换法,注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.,作业:P54 1(1)(3)(5)(6)(7)(8);2;3(2)P661（2,4）;2；3；4(2),31,有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,32,有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,
