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第一章,第七节,无穷小的比较,一、无穷小的比较,二、等价无穷小替换,一、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例1 比较下列各对无穷小,例2,解,例3,例4 证明:当,时,证:,证,必要性,充分性,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,设在自变量 x的同一,变化趋势下，,例5,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例6,解,例7,解,解,错,例8,例9,例,解,三、小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,作 业 P60 3.(1)(4)(5)(7)(8)4.5.(2)6.(1)(2)(5)(6)(8),思考题,任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,练 习 题,练习题答案,
