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1、第六节 无穷小的比较 无穷小的阶,一、无穷小的比较,二、等价无穷小,三、小结,一、无穷小的比较,例如,观察下列极限,当 时,都是无,穷小.,不可比.,型,极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的“快慢”程度不同.,定义:,(1)如果,设 是同一过程中的两个无穷小,且,记作,(2)如果,则称 是比 低阶的无穷小；,(3)如果,则称 与 是同阶的无穷小；,特殊地,如果,记作,(4)如果,例如，因为,与,是等价无穷小,即,是比,高阶的无穷小,因为,即,而,所以当时，,证明 因为,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,存在,则,几个常见的等价无穷小:,上述等价无穷小中的 可以是函数形式,当
2、 时,但在所考虑的极限过程中,例2,解,例3 求极限,解 因为,所以,有,求,例4,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,不能滥用等价无穷小代换.,切记:只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换,注意：,而不会改变原式的极限,对于代数和中各无穷小不能分别代换.,解,当 时,原式,原式,例 6 计算,解,因为,所以,于是,原式,解,解,由 与 等价 得:,原式,三、小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,练习(030104),解,练习,解,而,所以,任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题,思考题解答,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,不能,一、,填空题：,1,、,2,、,3,、,4,、,练习题,5,二、求下列极限,(1),(2),(3),(4),练习题答案,
