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1、,应 用 高 等 数 学（06级融资理财1班）,主讲：彭如海教授 岭 南 学 院 江 苏 科 技 大 学,第4讲 无穷小量的比较,1。5 无穷小量与无穷大量 1。6无穷小量的比较,第一章函数极限连续1。5 无穷小量与无穷大量一、无穷小,1.定义1。12:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,性质1。1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无
2、穷小.,性质1。2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四、小结,1、主要内容:,
3、两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,课堂练习,习题15）1、2、5,第一章函数极限连续,1。6无穷小量的比较,定义1。14设(x)和 b(x)为(x x0 或 x)两个无穷小量.,若它们的比有非零极限，,若 c=1，则称(x)和 b(x)为等价无穷小量，,则称(x)和 b(x)为同阶无穷小.,并记为(x)b(x)，(x x0 或 x).,即,例如，在
4、x 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量，,且,所以当 x 0 时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量.,又如，因为在 x 0 时，,x，sin x，tan x，1-cos x，ln(1+x)等都是无穷小量.,所以，当 x 0 时，,x 与 sin x，x 与 tan x，,都是等价无穷小量，,x sin x，,x tan x，,ln(1+x)x.,即,x 与 ln(1+x),并且,定义1。15设(x)和 b(x)为 x x0(或 x)时的无穷小量，,则称当 x x0(或 x)时，(x)是 b(x)的高阶无穷小量，,例如，x2,sin x 都是 x 0 时的无穷小量,且,所以，当
5、x 0 时，x2 是 sin x 的高阶无穷小量，即 x2=o(sin x).,或称 b(x)是(x)的低阶无穷小量，记为(x)=o(b(x).,若它们的比的极限为零，即,定理 1。4设(x)1(x)，b(x)b1(x)，,则,也存在或(无穷大量)，,并且,证 由定理条件可知,因此有,即可仿上面的证法.,例 1,解因为 x 0 时，,ln(1+x)x，,ex-1 x，,所以,【见上次讲稿 例10】,例 2,解因为 x 0 时，,tan 5x 5x，,所以,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例 4,解,若直接用 x 代替 tanx 及 sinx，,因为，虽然 tanx x，sinx x，但 tanx-sinx 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx sinx 是错误的.,是错误的.,则,课堂练习与课外作业,课堂练习：习题16）1（3）（4）（5）2（4）（9）课外作业：习题15）3（1）（4）习题16）2（1）（3）（5）,
