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1、第七章 函数的(定)积分,201009,7.1 定积分的概念,实例1（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,可以看出，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,三、简单性质,证,（可推
2、广到有限多个函数的情况）,性质1,证,性质2,证,性质3,性质4,证,解,令,不计算定积分比较积分大小,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、几何意义,几何意义：,定理1,定理2,五、可积定理,六、求简单函数积分,例2 利用定义计算定积分,解,例3 利用定义计算定积分,解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,定理：（NEWTON-LEIBNIZ）公式,假设f在a,b可积，且存在原函数F(x),若(x)在a,b上连续,则,证明：对于等份的分割：,例3：利用定积分的定义计算下列积分1）,解1）,因此,例求下列极限,七、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,原式,
