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1、2023/8/1,1,一 无穷小量,二 无穷大量,三 无穷小量与无穷大量的关系,四 无穷小的运算法则,五 小结与判断题,第四节 无穷小量与无穷大量,2023/8/1,2,一 无穷小量(Infinitely Small Quantity),1 定义,极限为0的变量叫无穷小量。,说明：,注1 不要认为无穷小量是一个很小很小的数；,注2 无穷小量是个变量；,注3 一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势；,注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。,2023/8/1,3,例如：,例1 用定义证明,2023/8/1,4,2 无穷小量和极限的关系,证明,1）不妨设,令,（为无穷小量）,则当 为无穷小量，也
2、有=A+,2023/8/1,5,即有,例如：,有,其中,所以，以A为极限。,2）若=A+，则=-A,为无穷小量,由于为无穷小量，故对,2023/8/1,6,思考题：,(A)充分但非必要条件；,(B)必要但非充分条件；,(C)既非充分也非必要条件；,(D)充分必要条件,2023/8/1,7,二 无穷大量,简单地说，绝对值无限增大的变量叫无穷大量.,(Infinitely Large Quantity),2023/8/1,8,精确地讲：,故,故,2023/8/1,9,注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增大的变量；,注5 函数是无穷大量，必须指明其变化趋势。,比如,例2证明,证：,2023/8/1
3、,10,要使,只须,取,所以，,2023/8/1,11,注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量。,是无界的，但,时，不是无穷大量。,证明：取,不是无穷大.,说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点,使 的极限不存在。,2023/8/1,12,2023/8/1,13,下面证明,且,取,所以，,2023/8/1,14,三 无穷小量与无穷大量的关系,注（倒数关系）,则,则,2023/8/1,15,2023/8/1,16,注 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,2023/8/1,17,四 无穷小的运算法则,定理有限个无穷小的和仍是无穷小。,证：,2023/8/1,18,故,注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。,例：,2023/8/1,19,定理 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。,证明：g(x)有界，故存在M，使,对于,当,故当,设g(x)在某定义域内有界，,2023/8/1,20,推论,（）常量与无穷小的积仍是无穷小；,（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。,例,2023/8/1,21,五 小结与判断题,内容:,无穷小量和无穷大量，及其倒数关系,判断题,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小.,（3）无界变量是无穷大.,
