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1、圆心角定理,颐和中学,复习回忆,1：垂径定理的内容是什么？2：垂径定理的推论内容是什么？3：圆的对称性,过点O作弦AB的垂线,垂足为M,A,B,顶点在圆心的角,叫圆心角，如,所对的弦为AB；,图1,OM是唯一的。,则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,图1中，OM为AB弦的弦心距。,1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。,2、下列图中弦心距做对了的是（）,任意给圆心角，对应出现四个量：,圆心角,弧,弦,探究：,疑问：这四个量之间会有什么关系呢？,弦心距,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下：在O中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）,如果：AO
2、B=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AO
3、B=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AO
4、B=COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？,如果：AOB=COD,证明:OA=OC，OB=OD，AOB=COD,当点A与点C重合时，点B与点D也重合。AB=CD，,圆心角定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。,已知:如图AOB=COD,求证:AB=CD，,AB=CD。,如图，O 和O 是等圆，如果 AOB=AOB 那么 AB=AB、AB=AB、OM=OM,为什么？,?,?,?,对于等圆的情况，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。,圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所
5、对的弦的弦心距相等。,图 5,条件,结论,在同圆或等圆中如果圆心角相等,那么,圆心角所对的弧相等,圆心角所对的弦相等,圆心角所对的弦的弦心距相等,圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.,由条件:AOB=AOB,AB=AB,OD=OD,请大家思考一下这个定理的逆命题,推论：(圆心角定理的逆定理)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。,1、已知：如图，AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：（1）如果AB
6、=CD，那么 _,_,_。（2）如果OE=OF，那么 _,_,_。（3）如果AB=CD 那么 _,_,_。（4）如果AOB=COD，那么 _,_,_。,AOB=COD OE=OF AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,巩固练习：,（1）圆心角定理中能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件吗?,同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。,2、如图.AB是O的直径 BC=CD=DE，C
7、OD=35，求AOE的度数.,证明：BC=CD=DECOB=COD=DOE=35AOE=1800-COB-COD-DOE=750,证明：AB=ACAB=AC，ABC是等腰三角形又 ACB=60ABC是等边三角形，AB=BC=CAAOB=BOC=AOC,如图，在O中,AB=AC,ACB=60,求证AOB=BOC=AOC.,例题：,1、已知：如图，AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：（1）如果AB=CD，那么 _,_,_。（2）如果OE=OF，那么 _,_,_。（3）如果AB=CD 那么 _,_,_。（4）如果AOB=COD，那么 _,_,_。,AOB=
8、COD OE=OF AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,巩固练习：,已知：如图，点P在O上,点O在EPF的平分线上，EPF的两边交O于点A和B。求证：PA=PB.,基础练习,已知：如图，点O在EPF的平分线上，O和 EPF的两边分别交于点A，B和C，D。求证：ABCD,变式1,已知：如图，O的弦AB，CD相交于点P，DPO=BPO。求证：ABCD,变式2,已知：如图，O的弦AB，CD相交于点P，过P、O的直径为MN，APO=CPO。求证：PBPD,变式3,做一做,2.已知：如图，在中，弦求证：,变式：圆O中弦AB、CD相交于E，且AB=C
9、D求证：DE=BE 证：连接DB,3、已知：如图，O的两条半径OAOB，C、D是弧AB的三等分点。求证：CDAEBF。,继续提高,弧、弦、弦心距之间的不等量关系,一.在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？判断1.若两弦相等，则它们所对的弧相等。（）2.若两弧不等.则大弧所对的圆心角较大。（3.长度相等的两条弧是等弧。（）二.AB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？,O中，如果弧AB=2弧BC，那么下列说法中正确的是（）A.AB=BC B.AB=2BCC.AB2BC D.AB2BC,4.已知AB是O的直径，M.N是AO.BO的中点。CMAB,DNAB,分别与圆交于C.D点。求证：,AC=BD,随堂训练,在圆O中，AC=DB，求证：,已知：如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证：OBA=OCD。,
