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1、1,第六章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法(2),http:/,2,6.3 窗函数设计法,顾名思义，窗函数设计法就是利用加窗技术来设计线性相位FIR滤波器的。加窗处理是在时域进行的，是一种时域设计方法。其基本思想是，在给定理想线性相位FIR滤波器的频率响应函数Hd(ej)的前提下，用有限长的一个h(n)去逼近理想的hd(n)。这种逼近可以看成是对hd(n)进行加窗截断处理而得到的。,http:/,3,设计方法,已知理想滤波器的频率响应 Hd(ej)（一般为具有矩阵形状的频率响应特性）。要求设计一个FIR滤波器响应,逼近Hd(ej),是一个无限长序列，若用有限长的h(n)去逼近
2、它就要对hd(n)作加窗截断处理。设所用的窗函数为w(n)则有,由于,http:/,4,设计方法,由上式可以看到，在衡量h(n)与hd(n)的相似程度时，w(n)函数起到了关键作用。我们最直接所能够想到的窗函数为矩形窗函数。,下面就以矩形窗函数为加窗函数，以低通滤波器为例来分析窗函数的设计方法,设低通滤波器的通带截止频率为c，低通滤波器的群时延为，此时的Hd(ej)如下,在通带内|Hd(ej)|=1，相位为线性相位-，Hd(ej)对应的hd(n)为,http:/,5,设计方法,hd(n)是一个中心点在的偶对称无限长的非因果序列,令w(n)=RN(n)则h(n)=hd(n)RN(n),思考：hd
3、(n)为线性相位，而要求设计的h(n)也应满足线性相位的要求。回顾上节中关于线性相位FIR Filter的单位样值响应h(n)的约束条件，可知h(n)必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半，即(N-1)/2，因而必须要求=(N-1)/2，这样的h(n)才是具有线性相位频率特性的,http:/,6,设计方法,故有,将（6-27）式的hd(n)代入上式可得,http:/,7,设计方法,这里，由于=(N-1)/2，故h(n)是满足线性相位约束条件的,得到了h(n)，就可以通过傅氏分析，找出所求FIR滤波器的频率特性,下面就来求解 h(n)对应的频率响应函数 H(ej)，并比较 H(ej)和 Hd(e
4、j)的异同,由（6-25）式可得,由式（6-30）式可知，H(ej)逼近 Hd(ej)的程度关键取决于 W(ej)即取决于窗函数的频谱特性,http:/,8,设计方法,若w(n)=RN(n)，有,其中,将Hd(ej)也写成(6-31)的形式，可得,其中,http:/,9,设计方法,将(6-31)、(6-32)式代入(6-30)式可得,(6-33)式说明：实际FIR滤波器的幅度函数 H()是理想FIR滤波器幅度函数Hd()与窗函数WR()的卷积,下面用图示的方法，说明矩形窗函数设计低通滤波器的H(),http:/,10,设计方法,1、图8(a)表示理想低通滤波器的幅度函数2、图8(b)表示矩形窗
5、的幅度函数3、图8(c)表示Hd()和WR()在=c处的卷积情况，可以看到WR(-)的左半部分与Hd()重合而右半部分不重合（对应图8(f)的c点）4、图8(d)表示Hd()*WR()在=c-2/N处的情况，可以看到WR()的主瓣和左半部分旁瓣与Hd()重合而右半部分旁瓣不与之重合（对应图8(f)的1点）5、图8(e)表示Hd()*WR()在=c+2/N处的情况，可以看到WR()的左半部分旁瓣与Hd()重合而主瓣和右半部分旁瓣不与之重合（对应图8(f)的2点）6、图8(f)表示Hd()*WR()对H(0)归一化的结果。其中H(0)为图8(a)和图8(b)相重合部分相加的结果,http:/,11
6、,设计方法,理想频率特性的通带截止频率处由不连续点变成了连续点在c两边1=c-2/N和2=c+2/N出现了峰值点和谷底点在c附近形成了一个过渡带，其中峰值点1到谷值点2的宽度为=4/N在通带和阻带都产生了波动，形成了波纹。波动的幅度取决于WR()的旁瓣大小，波动快慢取决于旁瓣数量。,由图可见，通过加窗处理，将理想的低通特性图8(a)变成了图8(f)的形式，具体为,http:/,12,设计方法,下面的问题是：可否通过改变参数 N 来改变上述所提到的波动呢？,答案是：随着 N 值得增大，可以改变窗谱函数的主瓣和旁瓣宽度，即可改变波动的快慢，但 N 增加并不改变主瓣和旁瓣的相对比例，这是因为在主瓣附
7、近，较小时,而主瓣和旁瓣的相对比例是由sinx/x来决定的。故随着N的增加这一比例并不变化，即N的增加并不会改变肩峰的相对值，矩形窗其肩峰的相对值总是8.95%这种现象通常被称为Gibbs效应或Gibbs振荡另：随N的增加，过渡带的宽度也会逐渐减小，这是因为=4/N,http:/,13,设计方法,以上介绍的是窗函数为矩形窗时的设计方法。矩形窗截断造成的波纹肩峰为8.95%。此时对应的阻带最小，衰减为20log10(8.95%)=-20db，这个阻带衰减量在很多工程领域都是不够的。为了改变这一情况，以及其它一些问题，有必要寻找其它的加窗方式,http:/,14,各种窗函数,我们看到上述矩形加窗设
8、计法设计的低通滤波器的阻带衰减不够大的问题的核心是采用了矩形窗函数，要使阻带衰减变大，则需要考虑其它形式的加窗,另：我们也希望得到的低通滤波器频谱有如下特性,窗谱的主瓣尽量窄，这可有效地减小过渡带的宽度，获得更陡峭的过渡带尽量减小窗谱第一旁瓣（最大旁瓣）的相对幅度，也就是将能量尽量集中于主瓣内，这样不仅能使肩峰和波纹减小，也可增大阻带的衰减,http:/,15,各种窗函数,上述两条件是相互制约的，不能同时得到满足,增加主瓣宽度会加大阻带衰减，减小波纹，但会使过渡带变宽减小主瓣宽度会减小阻带衰减，增大波纹，但会使过渡带变窄,下面介绍几种工程常用的加窗函数,http:/,16,各种窗函数三角形(B
9、artlett)窗,三角形(Bartlett)窗,对应的窗谱为,http:/,17,各种窗函数三角形(Bartlett)窗,当 N 1时,该窗函数的主瓣宽度为8/N，比相应时域长度的矩形窗的主瓣宽度宽一倍,http:/,18,各种窗函数汉宁(Hanning)窗(又称升余弦窗),2、汉宁(Hanning)窗(又称升余弦窗),对应的窗谱函数为：,当N1时,http:/,19,各种窗函数汉宁(Hanning)窗(又称升余弦窗),W()利用WR()，WR(-2/N)，WR(+2/N)这三个矩形窗谱的旁瓣相互抵消作用，使能量更集中在主瓣，其主瓣宽度也为8/N。,这种旁瓣相互抵消作用见书中P349图79,
10、http:/,20,各种窗函数海明(Hamming)窗(改进升余弦窗),对(6-36)的升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果,此时的窗函数为,对应的窗谱函数的幅度函数为,http:/,21,各种窗函数海明(Hamming)窗(改进升余弦窗),N1时,这种窗函数可使99.963%的能量集中在窗谱主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度同为8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%,http:/,22,各种窗函数布拉克曼(blackman)窗,又称二阶升余弦窗,对应的窗谱函数的幅度函数为,此时主瓣宽度为12/N，为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，书中P351给出了各种加窗函数的设计效果,http:/,2
11、3,各种窗函数,一般来讲，窗函数的主瓣宽度越大，则更容易获得好的阻带衰减，但同时其过渡带也会展宽,跟Gibbs现象相似的道理，不能通过改变参数 N 来改善最小阻带衰减，最小阻带衰减只由所采用的窗函数形式来决定,http:/,24,窗函数的设计步骤,步骤：,已知理想的频率响应函数Hd(ej)求解hd(n)=IDTFTHd(ej)按照设计指标，选择符合要求的窗函数形式及参数N的大小求所设计的FIR滤波器的单位样值相应h(n)=hd(n)w(n),n=0,1,2,.,N-1求H(ej)=DTFTh(n)，检验是否符合要求。若不符合，则改变参数N或选择其它窗函数重新设计,窗函数法的优点是简单，有闭式解
12、，比较实用；缺点是通带、阻带的截止频率不易控制,http:/,25,窗函数的设计步骤-设计举例,图9,例：设计线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为s=21.5104(rad/s)，通带起始频率为p=21.5103(rad/s)，阻带起始频率为st=23103(rad/s)，阻带衰减不小于-50dB。该低通滤波器对应的模拟低通滤波的幅频特性如图9所示,http:/,26,解：求出理想低通滤波器的通带截止频率c,将各频率划分为数字域频率,根据图中理想低通滤波器的频响函数求出hd(n),其中为线性相位所必须的群延时，应为=(N-1)/2,http:/,27,根据阻带衰减来确定窗函数，由过渡带宽度
13、确定N，由书上表7-3可选海明窗,所要求的过渡带宽,而海明窗过渡带宽满足,故,由海明窗w(n)满足FIR Filter的h(n),求H(ej)=DTFTh(n)，看是否满足指标，若不满足，则可改变参数N或窗函数形式重新进行设计和验证,http:/,28,6.4 频率抽样设计法,与窗函数设计法在时域使h(n)近似逼近hd(n)不同的是，频率抽样法是以频率出发，把给定的理想频率响应Hd(ej)加以等间隔抽样,将Hd(k)作为实际FIR 数字滤波器的频率特性抽样值H(k),由H(k)作IDFT求出有限长序列h(n),http:/,29,6.4 频率抽样设计法,根据第三章介绍的频率抽样定理可知，由N个
14、频率抽样值H(k)同样可求出FIR Filter的系统函数H(z)和频响函数H(ej)，这个H(z)和H(ej)将逼近Hd(z)和Hd(ej),H(z)的内插公式为,http:/,30,6.4 频率抽样设计法,由内插公式可以看到，在各抽样点处有H(ej2/N)=H(k)=Hd(k)=Hd(ej2k/N)，即在各抽样点上，滤波器的实际频率响应是和理想滤波响应数值严格相等的，各抽样点之间的频响会有一定的误差。误差的大小是和理想滤波器频响的变化有关的。若Hd(ej)变化缓慢，则误差较小。若Hd(ej)变化剧烈，则误差较大。如书上P360图7-16的例子所示。图7-16(a)在c处 Hd(ej)变化剧
15、烈故引入了较大误差，图7-16(b)在c处由于Hd(ej)变化缓慢，故误差较小,http:/,31,减小设计误差的方法,当理想Hd(ej)在某些频点（如通带截止频率处）变化剧烈时，会引起较大的设计误差。一种减小这种误差的方法是对Hk在这些频点附近增加过渡点,通过增加过渡点可有效减小由H(k)内插得到的H(ej)在c附近的波动，从而减小设计误差。但过渡点的增加会使设计的滤波器的过渡带增大，同时过渡点的增加会使参数N增大，这样会增加设备的成本。故这种方法较适用于窄带滤波器的设计通带短，点数少N，该方法便于在频率域观察设计结果，比较直观,http:/,32,6.5 IIR与FIR数字滤波器的比较,I
16、IR滤波器系统函数的极点可位于单位圆内任意位置，故可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，经济高效但它的相位无法保证是线性相位而且一般选择性越好，相位的非线性越严重,性能：,FIR滤波器可以获得严格的线性相位但由于极点固定在原点，故只能用较高的阶数才能达到好的选择性对于同样的滤波器指标，FIR滤波器所需的阶数一般是IIR的5-10倍，因此成本较高，且信号的时延较大，故FIR滤波器经常用在要求具有线性相位的场合,http:/,33,6.5 IIR与FIR数字滤波器的比较,结构：,IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须位于单位圆内，否则系统将不稳定，这时有限字长的处理会引起寄生振荡FIR滤
17、波器主要采用非递归结构，不存在稳定性的问题，运算误差也较小。另外FIR滤波器便于采用FFT技术进行相关运算，故运算速度可以快很多,http:/,34,6.5 IIR与FIR数字滤波器的比较,设计：,IIR滤波器可借助模拟滤波器的设计方法，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式，计算工作量小，对计算工具要求不高FIR滤波器一般无封闭形式的设计公式，一般只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高,http:/,35,6.5 IIR与FIR数字滤波器的比较,灵活性：,IIR往往由于具有分段常数特性的Filter，如低通、高通、带通、带阻等FIR就灵活的多，可应用于某些特殊的场合，如构成微分器、积分器、移相器等,总之，FIR与IIR比较起来，各有所长，各有特点，采用何种Filter结构应主要根据应用场合和经济因素上考虑,http:/,
