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1、第二章 平面问题的基本理论,要点 建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。,一.平面应力问题与平面应变问题（Problems of plane stress and plane strain）,1.平面应力问题,(1)几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2)受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3)简化的应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于板面上不受力，有:,因板很薄，
2、且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有:,结论：,(a)平面应力问题只有三个应力分量：,(b)应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,(c),2.平面应变问题,(1)几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长。,(2)外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3)简化的变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为
3、x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,平面应变问题,(c),可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,结论：,(a),(b),如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,几何特征;,受力特征;,应变特征。,外力、应力、形变、位移。,基本假定：,（1）连续性假定；,（2）线弹性假定；,（3）均匀性假定；,（4）各向同性假定；,（5）小变形假定。,（注意：剪应力正负号规定）,（掌
4、握这些假定的作用）,基本概念：,t=1.,AC：,BC:,二.平面问题的平衡微分方程(Equilibrium equations),Divided the equation by dx dy：,Divided the equation by dx dy：,when,直角坐标下的应力平衡微分方程,物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性
5、质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足。,undeformed,deformed,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,建立：平面问题中应变与位移的关系,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,三.几何方程(The geometrical equations),Normal strain of PA:,Normal strain of PB:,Shear strain of point P：,P点两直角线段夹角的变化:,几何方程 The geometrical equations,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称
6、：本构方程、本构关系、物性方程。,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,四.物理方程,1.平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2),物理方程的另一形式,2.平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,平面应变问题的物理方程,注：,由式虎克定律第三式，得,？,3.两类平面问题物理方程的转换,平面应变问题的物理方程,平面应力问题的物理方程,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料
7、常数的转换为：,平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,应变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,应变与位移间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,五.边界条件（Boundary conditions）,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）几何方程：,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2.边界条件及其分类
8、,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界,三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由,式中取：,得到：,如：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。,平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,在物体的边界上取直角三角形的微元体PAB，其斜面AB与物
9、体边界面重合。N为其法线。,得,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：,位移边界条件,应力边界条件,图(b)：,位移边界条件,应力边界条件,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),平面问题的基本方程,1.平衡微分方程,2.几何方程,3.物理方程,（平面应力问题）,4.边界条件,位移：,应力：,问题的提出：,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用
10、点处的应力边界条件无法列写。,1).静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,3.圣维南原理(Saint-Venant Principle),2).圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：,若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,注意事项：,必须满足静力等效条件,图a是一端固支、一端受集中力作用的
11、杆件，其厚度为1 mm，容易计算出杆内的应力为100MPa。图b是该杆件的应力分布图，不同的颜色代表不同的应力值。由于上部固定端和下部加力端的影响，明显看出从上部固定端向下大约20 mm区域内应力并不是均匀分布，在杆的下端，从集中力作用处向上大约25 mm的区域内应力也不是均匀分布的。图b中，只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的，且其大小为100 MPa。圣维南原理说，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1-3个杆的最大横向尺寸。,六.按位移求解平面问题,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）几何方程：,（3）物理方程：,（4）
12、边界条件：,（1）,（2）,2.弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法、刚度法）,以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与应变分量。,（2）按应力求解（力法，柔度法）,以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出应变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,3.按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,（a）,将式(a)代入平衡
13、方程，化简有,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,（3）按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,七.按应力求解平面问题 相容方程,1.变形协调方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。,需寻求补充方程，,从应变、应,变与应力的关系建立补充方程。,将几何方程：,作如下运算：,显然有：,形变协调方程（或相容方程）,
14、即：必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,例：,其中：C为常数。,显然，此组位移分量不能满足形变协调方程，因而,2.变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,利用平衡方程将上述化简：,（a）,将上述两边相加：,（b）,将(b)代入(a)，得：,将 上式整理得：,应力表示的相容方程,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比代为：，得,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,3.按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方
15、程）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,八.常体力情况下的简化 应力函数,1.常体力下平面问题的相容方程,令：,拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：,平面应力情形,平面应变情形,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,或,2.常体力下平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件,（4）位移单值条件,对多连通问题而言。,讨论：,（1
16、）,Laplace方程，,或称调和方程。,（2）,常体力下，方程中不含E、,（a）,（b）,不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。,光弹性实验原理。,（3）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(a)为非齐次方程，其解：,全解=齐次方程通解,3.平衡微分方程解的形式,(1)特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2)通解,式(a)的齐次方程：,(c),(d),的通解。,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,
17、(e),(f),同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式(f)与(h)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,(2)通解,式(a)的齐次方程：,(d),的通解。,由微分方程理论，必存在一函数(x,y)，使得,(i),(j),将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解：,(k),(2)通解,式(a)的齐次方程：,(d),的通解：,对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3)全解,取特解为：,则其全解为：,常体力下平衡方程（a）的全解。,由上式看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y)平面问题的应力函数,Airy 应力函数,4.相容方程的应力函数表示
18、,将右边式代入常体力下的相容方程：,有：,注意到体力 X、Y 为常量，有,将上式展开，有,应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,将右边式代入常体力下的相容方程：,有：,注意到体力 X、Y 为常量，有,将上式展开，有,应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,上式可简记为：,或：,式中：,满足相容方程的函数(x,y)称为重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应为一重调和函数,按应力求解平面问题（X=常量、Y=常量）的归结为：,（1）,（2）,然后将由 求出应力分量：,先由相容方程求出应力函数：,（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,例,图示矩
19、形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,例,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,（1）,（2）,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,思考题,1.,2.,试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,
