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1、1,引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,第七节 方向导数与梯度,一、问题的提出,2,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,3,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,记为,在偏导数存在的前提下,5,证明:,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,是方向余弦,6,故有方向导数,亦等于,7,l,
2、y,x,z,P,P0,z=f(x,y),Q,M,是曲面在点P0 处沿方向l 的变化率，即半切线,方向导数,方向导数的几何意义,的斜率.,N,（看成是割线，切线是割线的极限位置）,8,解：,所求方向导数,9,解,由方向导数的计算公式知,10,故,11,推广可得三元函数方向导数的定义,12,13,解,令,故,方向余弦为,14,故,15,三、梯度的概念,16,17,结论：沿梯度方向的方向导数取得最大值，即函数沿梯度方向增长最快，这个最大值等于这点处梯度的模。,18,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,19,称
3、为函数 f 的等值线.,则L*上点P 处的法向量为,同样,对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,20,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等高线),指向函数增大的方向,梯度的几何意义：,梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线的一个方向相同,（从数值低的等高线指向数值高的）.,看书p46图,21,等高线的画法,22,例如,23,解,由梯度计算公式得,故,24,势与势场 向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不
4、一定是某个数量函数的梯度场.,四.数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.,如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.,25,例5 设质量为 m 的质点位于原点,质量为 1 的质点,26,它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量,的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.,为引力势.,27,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,小结,28,思考题,答,29,所以沿着任意方向的
5、方向导数都存在且相等,导数,30,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,31,曲线,1.(1),在点,解答提示:,M(1,1,1)处切线的方向向量,32,33,2.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,(92考研),34,指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,3.函数,提示:,则,(96考研),35,课后思考题：,1.研究多元函数连续，偏导数，全微分，方向导数，梯度的关系。,2.研究多元函数偏导数，全微分，方向导数，梯度的几何意义。,
